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一、开设数学模型系列课程,培养学生理论联系实际的能力
大学生在进入大学之前,已经学过10多年的数学,除了应用题外,很少接触实际问题,特别是进入大学以后,高等数学的内容及思维方式与初等数学有很大的差别,不论对数学类的学生还是非数学类的学生,都会造成较大的困难。与此同时,学生在学习时也往往不知道所学的内容到底有什么用,如何运用。因此,讲授一些具有实际应用背景的例子,对引发学生学习数学的兴趣,自觉地学习数学是有很大的裨益的。随着科技发展和社会进步,数学越来越深入和广泛地在自然科学、工程技术和社会科学的各个领域中得到应用,并在有些领域中发挥了关键的作用。因此,我校1982年就在国内高校中率先开设了“数学模型”课程。在30多年中的建设过程中,我们始终坚持“培养具有创新意识和理论联系实际能力的优秀人才”的指导思想,坚持不懈地推进教学改革,形成了完整的数学模型系列课程,包括“数学模型”、“数学建模与实验”以及与之相联系的创新实践活动。通过这些课程,培养学生分析问题、解决问题的能力,使他们具备一定的理论联系实际的能力。同时我们还为全校学生开设了“数学模型概论”公选课。在“文科高等数学”课程中增加了相当数量的数学建模的内容,使非数学类的学生也能掌握一些数学建模的思想与方法。
二、开设通识教育核心课程,普及数学文化,提高学生的数学修养
近年来我校探索实施通识教育,将其作为教学改革的一个重要举措。通过开设通识教育核心课程,做到学识的传授与人格的熏陶并重,使每个受教育的学生了解自我与社会的需要,在融洽的人际关系中,选择学习内容,培养高雅素质及高尚人格,成为学术与品德兼备、热爱社会、具有包容的胸襟、尊重他人尊严与价值的完整的人。同时具备将来就业或转业的基本学识与基本才能,能自我调适与自我判断,以适应当今科技快速进步的时代。复旦大学实施通识教育主要有两大举措:一是积极探索通识教育管理、运行新模式;二是建立通识教育核心课程体系。与之相配合,我们为文理学院的学生开设了通识教育核心课程“现实世界的数学视角与思维”。这门课程通过用数学的视角对社会的某些侧面进行观察和对一些重要的社会和科技活动进行定量的思维,并通过介绍科技、经济、金融和管理中的数学模型与应用案例,向学生揭示数学的重要性,宣传数学思想,普及数学文化,提高学生的数学素养。我们希望通过这门课程传达给学生以下主要思想和观念:
(1)数学是科技发展的强大动力。康德(Immanuel Kant,德国哲学家,1724—1804)说过:“自然科学的发展,取决于其方法、内容与数学结合的程度,数学成为打开知识大门的金钥匙,成为科学的皇后。”数学被公认为“科学的语言”、“思维的工具”。数学对科技发展所起的作用是难以估量的。
(2)数学本身是一种文化,它对人类的精神文明做出了巨大的贡献。“数学是人类理性活动的伟大创造。数学是一种精神,一种理性的精神,使人类思维得以运用到最完善的程度。作为理性精神的化身,数学渗透到以前由权威、习惯、风俗统治的领域,取代它们成为思想和行动的指南。作为一种宝贵的、无可比拟的人类成就,数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面,毫不逊色于任何一种文化门类。”(克莱因,Felix Christian Klein,德国数学家,1849—1925)
(3)数学是各类优秀人才必备的素质。有人问首位诺贝尔物理学奖获得者伦琴(Wilhelm Conrad R?ntgen,德国物理学家,1845—1923)“科学家需要什么修养”,他的回答是:“第一是数学,第二是数学,第三还是数学。”
(4)定量化思想是最重要的数学思想之一。“近代科学在实用和理论方面最激动人心的成就,主要是通过熟练地运用日积月累的定量的、描述的知识才获得的,……,近代科学的历史,就是逐渐摈弃上帝和恶魔,从而将关于光、声、力、化学过程以及其他概念模糊思想转变为数量关系的历史。”(克莱因)英国数学家和哲学家怀特海(Alfred North Whitehead,1861—1947)说:“如果文明继续发展,那么在今后两千年,人类思想中压倒一切的新特点就是数学悟性要占统治地位。”在占统治地位的数学悟性中,定 量化思想是不可或缺的部分。
(5)数学建模在定量化和数学应用中起着十分重要的作用。科学家们认为:当前最令人兴奋的发展是在社会科学和生物科学中数学模型的构造。(艾伦多弗,Carl Barnett Allendoerfer,美国数学家,19111974) 甚至一个粗糙的数学模型也能帮助我们更好地理解一个实际的情况,因为我们在试图建立数学模型时被迫考虑了各种逻辑可能性,不含混地定义了所有的概念,并区分了重要和次要的因素……。”(伦伊,Alfred Renyi,匈牙利数学家,1921—1970)数学模型是使用数学解决实际问题的第一步,并贯穿在解决问题的全过程之中。为达到以上目的,我们在课程中包括了以下主要内容:
绪论
发展与变化
数据与规律
计划与规划
竞争与博弈
风险与决策
优选与优化
调查与统计
模拟与仿真
模式与分类
我们设计了分量较重的绪论,图文并茂地讲解数学发展的简史和宣扬数学思想。但是我们认为仅靠泛泛而谈或讲历史故事远达不到宣传数学思想的目的。因此我们选择上述在社会生活中一些重要的问题和方面,用浅显的数学工具,给出数学模型和数学方法,透过这些实例,看到数学的思想和数学的作用。 下面我们举一个例子,说明我们是如何实现课程设计的目的和要求。
在“发展与变化”一章中,我们首先向学生阐明发展变化无所不在,数学是发现变化规律的重要手段,数列是刻画离散变化的工具、差分方程是刻画发展变化规律的主要数学模型之一,并适当为学生复习和补充有关数列的知识(考虑到选课学生中众多的文科学生)。 为了提高学生的兴趣,我们引入了一个简单的金融问题——房贷问题。我们知道房屋贷款有两种还款模式:等额本金还款、等额本息还款。等额本金还款较为简单,可以构造一个递推公式加以解决:
实际上这是一个等差数列。每个月本金都减少固定的 ,因而利息相应地减少固定的 ,即而等额本息还款稍显复杂。设每月总还款额为x,第k月还款后剩余本金为xk,这样,就构成一个一阶线性常系数的差分方程,求解得一阶差分方程需要一个初始条件,这里给出x0 = A,即开始贷款额为A,这样为解出x,还缺少一个条件,如果贷款期限为n个月,那么xn = 0,由此解得这个例子一方面给出了差分方程的一个应用,另一方面,也使学生知道在实际应用中如何根据实际情况给出必须的条件,从而得到最终的结果。
这个问题还可以根据货币的时间价值,用初等数学的方法得到。第k月还款额为x,到贷款期限n月时的实际价值为x (1 + r)n – k,初始时刻贷款总额为A,到贷款期限n月时的实际价值为A (1 + r)n,因此左边实际上是等比级数之和,为由此得到从这个例子看出,同一个问题可以用多种方法加以解决,思路不同,解决方案亦不相同,但条条大路通罗马。
我们还给出离散的人口模型,以此巩固差分方程的应用。假设人口的年增长率为常数,则其中xk为k年末人口数,r为年自然增长率,b为年迁入人口数。这个模型与等额本息还款问题的模型完全相同,只要将x改为–b即可,其解为若不考虑迁入,即b = 0,此时人口是指数增长的。用早期世界人口增长数据可验证这个模型是对的。但随着时间的增长,用这个公式给出的人口可以无限增长,这显然是不合理的。分析原因后看到这个模型的不合理之处在于没有考虑可供养人口的资源的限制。于是基于这一考虑,改进引入Logistic模型其中M是资源可以供养的最大人口数。这是一个非线性差分方程,求解较为困难,将之化为线性差分方程这是关于 的一阶线性常系数差分方程,求解此方程得到将其与美国20世纪50年代以前的数据比较,发现符合得很好。但20世纪60年代后,模型有缺陷需进一步修改。
这个例子告诉学生如何建立数学模型。通常是从最简单的情况入手,建立简单的数学模型。然后在此基础上,考虑增加新的影响因素,建立较为复杂的模型。另一方面,对于非线性问题通常都很难求解,一种方法是想办法将其化为线性问题来求解。
对不同层次的学生可以采用不同的模型,讲述不同深度的数学内容。例如,对数学系的学生,在讲授人口问题时,可以采用另一个Logistic模型 这一模型会产生混沌现象,这样,可以将学生带入非线性科学领域,尽早接触现代数学的内容。 三、深入进行教学方法改革,充分发挥学生主体作用 在以往的课堂教学中,特别是数学课的教学中,主要采用教师课堂讲授的形式。这种单一的教学形式造成了学生在教学中处于完全被动的状态,影响了学生的学习积极性和教学效果。为了使学生更好地掌握课堂教授的内容,我们十分注重教学互动,充分发挥学生在教学中的主体和能动作用。我们在课堂上穿插一些课堂练习,让学生自己动手完成一些较为简单的问题。这些问题虽然也可以用课堂讲授的方式,但是由学生自己完成,从中找到解决问题的方法,使学生懂得如何使用学习到的数学知识解决实际问题。这对学生的提高会更大。
在“数学建模与实验”课程中,针对学生的特点和课程的性质,我们采用了研究生学习阶段普遍使用的讨论班的上课形式,为学生提供了一个相互交流的平台,也使教学方式更加生动活泼。在课程中,由教师主持,提供给学生阅读材料,主要是历届全国和美国大学生数学建模竞赛的优秀论文。这些材料有相当的深度和难度,其中大部分知识学生还没有学过。老师推荐一些数学方面的参考书籍,指导同学们详细阅读数学建模的有关资料和素材中的内容。要求同学们首先读懂材料上的内容,自己动手实现其中的算法,验证材料中的结果,然后结合自己的想法,指出材料中的数学方法和相应的算法可能出现的错误,并对之作出改进,撰写读书报告,然后在课堂上进行讲解。
学生在讲解时,将有关内容制成PPT形式,利用多媒体工具进行讲解。有的同学还会针对讲解的内容,利用Java等软件制作动画演示,直观地展示计算结果,解释有关现象。
在讨论班进行过程中,老师和其他同学可以随时提问,进行互相讨论,最后再由老师作出点评,帮助同学们掌握其中的主要方法和难点,在互动的教学过程中,更好地掌握材料中的内容。“数学建模与实验”课程是在本科二年级下和三年级上开设的,在读与写的过程中,学生们自然会遇到相当多的尚未学过的专业知识,也会遇到某些不熟悉的其他专业领域的内容,我们就鼓励和指导学生如何从图书馆和网上寻找相关的背景资料和数学书籍,自学某些课程,使学生们养成学而不厌、锲而不舍、自立自强的好习惯。通过这一课程的学习,普遍提高了学生们的专业素质和分析问题、解决问题的能力。这一上课形式也受到了同学们的热烈欢迎,同学们在课堂上踊跃发言,进行热烈的讨论,使得对问题的理解、方法的掌握都更加透彻。
四、努力加强教学形式延伸,注重培养学生创新意识
学生要具备用数学方法和手段解决实际问题的能力,单单从课堂上和书本里学习是远远不够的,还需要有机会从社会实践中汲取营养。我们长期坚持学生结合课程学习进行社会实践,并将应用数学方向的毕业实习作为数学建模课程的延伸,带领同学们到实际单位去参观实习,结合有关实际课题,在老师的指导下进行研究,完成同学的毕业论文。在社会实践中聘请实际单位的专业人员为学生讲课,讲授数学和数学模型在其单位中发挥的巨大作用。通过这些实习和研究活动,使同学们真刀实枪地进行实践,切实地感受到了数学的用武之地,真正地参与了重要科研项目的攻关,而不仅仅是纸上谈兵,使同学们应用数学解决实际问题的能力大大提高。
我们还积极鼓励学生参加国际工业应用数学研讨会(Study Group)。国际工业应用数学研讨会为工业企业界与中外应用数学界提供了一个联系平台,通常为期5天。第一天由工业企业界的人士介绍各自的问题背景和需要解决的问题。在之后的3天时间里,与会者分组,就自己感兴趣的问题,与工业企业界的人士进行充分的讨论,提出解决的方案,建立相应的数学模型并进行试算。最后一天,各小组分别介绍自己的研究成果,有兴趣者在会后作深入的研究。我们带领优秀的本科生参加这类活动,在研讨会中发挥了很大的作用,有的还在最后一天代表所在小组用流利的英语作最后的总结报告,得到了与会专家的高度评价。
很多学生还积极参加学校的各种科创活动,如“曦源”项目、“望道”计划、“莙政”计划等。通过这些项目的研究,学生们亲身体验数学建模的整个过程,了解、熟悉科研过程,为他们今后进一步的深造打下基础。
在各种实践活动中,涌现出许多优秀学生,他们在很多项目的开发中起到了积极的作用,为项目的完成、鉴定甚至获奖作出了贡献。每年都有优秀的毕业论文涌现出来。事实证明,学生参加科研工作,既充实了科研队伍的力量,更使学生受到了很好的锻炼,培养了理论联系实际和从事科研工作的意识和能力。
我们还鼓励学生组织课外科技活动。由我院团学联发起组织的“大学生数学建模邀请赛”(原称“华东杯数学建模竞赛”)已连续举办了14届,从开始的地区性赛事发展为全国性的赛事。这是由学生自行组织的,我们老师负责出题和阅卷,而报名、征题、收卷、颁奖等活动都由学生自己完成。这对培养和促进学生的自立自强作用明显。
我院学生还自发组织了“数学建模协会”,吸引了一大批对数学建模有兴趣的同学积极参加。我们也经常与学生座谈,举办讲座,激发了同学们运用数学解决实际问题的浓厚兴趣。
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