小升初：解竞赛题的金钥匙之九（重叠问题） 
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我们先来看下面一个问题：

如右图，有边长是 4 厘米与边长是 5 厘米的两个正方 形成在桌面上(阴 影部分是两个正方形的重叠部分)，试求这两个正方形覆盖桌面的面积。

{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0120_1.bmp} 要解答这个问题，如果只简单地把两个正方形面积相加，得 4×4+5×

5=41(平方厘米)就作为其覆盖桌面的面积，显然是错误的，这是因为我们 多计算了一块阴影部分的面积。这块面积是 3×3÷2=4.5(平方厘米)，所 以要将这块面积排除掉。所以两个正方形覆盖桌面的面积是

4×5+5×5-3×3÷2=36.5(平方厘米)。 一般来讲，这类问题就叫做重叠问题，它与一个应用很广的数学原理—

—容斥原理(“容”，就是包含、相交的含义，“斥”就是排除、去掉的含 义)有密切的关系，它是解决重叠问题的主要理论依据，运用容斥原理可以 解答很多有趣的数学问题。

下面我们通俗、直观地介绍两条容斥原理。 容斥原理(一)放在桌面上两张相交的圆纸片 A、B 所覆盖的总面积等于

它们的面积之和减去它们相交部分的面积。

{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0121_1.bmp} 说明：容斥原理的确切内容，要用集合的知识阐述。

例 1 一个班 42 名学生都订了报纸，订阅《中国少年报》的有 32 人， 订阅《小学生报》的有 27 人。有多少人订阅两种报纸?

(1934 年《小学生报》全国数学竞赛题)

解法 1：假定全班每人只订一份报纸，则全班共有 32+27=59 人，这比全 班实际人数多 59-42=17 人，说明有 17 人不是只订了一份报纸，而是既订了

《中国少年报》又订了《小学生报》，所以在统计订阅报纸的人数时，有 17 人重复计算了一次，形成比全班实际人数多了的情况。

由此，订阅两种报纸的人数是

32+27-42=17(人)。

解法 2：因为班内订《中国少年报》的有 32 人，所以没有订《中国少年 报》的有 42-32=10 人，也就是在班内只订《小学生报》的有 10 人，为什么 题意中“订阅《小学生报》的有 27 人”呢?这，说明有 27-10=17 人既订了

《中国少年报》、又订了《小学生报》。由此，订阅两种报纸的人数是

27-(42-32)=17(人)。