同学们学习奥数有利于我们数学思维的提升，下面为大家分享奥数计数问题之递推方法的解题技巧，大家一定要多做题，勤加练习才能在成绩上有更大的提高。

递推方法的概述

在不少计数问题中，要很快求出结果是比较困难的，有时可先从简单情况入手，然后从某一种特殊情况逐渐推出与以后比较复杂情况之间的关系，找出规律逐步解决问题，这样的方法叫递推方法。

例1、线段AB上共有10个点(包括两个端点)，那么这条线段上一共有多少条不同的线段?

分析与解答：

从简单情况研究起：

AB上共有2个点，有线段：1条

AB上共有3个点，有线段：1+2=3(条)

AB上共有4个点，有线段：1+2+3=6(条)

AB上共有5个点，有线段：1+2+3+4=10(条)

……

AB上共有10个点，有线段：1+2+3+4+…+9=45(条)

一般地，AB上共有n个点，有线段：

1+2+3+4+…+(n-1)=n×(n-1)÷2

即：线段数=点数×(点数-1)÷2

例2、2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，…… 按这个规律此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次?最后留下的这个人原来的号码是多少?

分析与解答：

难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。

这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2=10 ，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。

第二次报数后共留下5人，因为10÷2=5 ，这5人开始时的编号依次是： 4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。

第三次报数后共留下2人，因为5÷2=2 ……1 ，这2人开始时的编号依次是： 8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。

第四次报数后共留下1人，因为2÷2=1 ，这1人开始时的编号是：16，都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。

由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。

2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢?

第一次：2000÷2=1000 第二次：1000÷2=500

第三次：500÷2=250 第四次：250÷2=125

第五次：125÷2=62 ……1 第六次：62÷2=31

第七次：31÷2=15 ……1 第八次：15÷2=7 ……1

第九次：7÷2=3 ……1 第十次：3÷2=1 ……1

所以共需报10次数。

那么，最后留下的同学在一开始时的编号应是：

2×2×2×…×2=1024(号)

例3、 平面上有10个圆，最多能把平面分成几部分?

分析与解答：

直接画出10个圆不是好办法，先考虑一些简单情况。

一个圆最多将平面分为2部分;

二个圆最多将平面分为4部分;

三个圆最多将平面分为8部分;

当第二个圆在第一个圆的基础上加上去时，第二个圆与第一个圆有2个交点，这两个交点将新加的圆弧分为2段，其中每一段圆弧都将所在平面的一分为二，所以所分平面部分的数在原有的2部分的基础上增添了2部分。因此，二个圆最多将平面分为2+2=4部分。

同样道理，三个圆最多分平面的部分数是二个圆分平面为4部分的基础上增加4部分。因此，三个圆最多将平面分为2+2+4=8部分。

由此不难推出：画第10个圆时，与前9个圆最多有9×2=18个交点，第10个圆的圆弧被分成18段，也就是增加了18个部分。因此，10个圆最多将平面分成的部分数为：

2+2+4+6+…+18

=2+2×(1+2+3+…+9)

=2+2×9×(9+1)÷2

=92

类似的分析，我们可以得到，n个圆最多将平面分成的部分数为：

2+2+4+6+…+2(n-1)

=2+2×[1+2+3+…+(n-1)]

=2+n(n-1)

=n2-n+2

以上是为大家分享的奥数计数问题之递推方法的解题技巧，希望能够切实的帮助到大家，并祝大家能够在考试中取得优异的成绩！

相关推荐

2017年小升初奥数竞赛题（含答案解析）

精选快速提高奥数成绩的四个好方法