第二届华杯赛复赛试题答案

参考答案

第二届华杯赛复赛试题答案：1. 　　2.共有五个质数：2，3，13，23，31　　3. 　　4.91个　　5.(见下)

6.48分钟　　7.6厘米　　8.(见下)　　9.(见下)　　10.(见下)　　11.66千米/小时

12.儿子在跑第3圈时,第一次与父亲再相遇

1.【解】原式= =( )×2×4×8× =(4+2+1)×2×4× =7×2×4× =7× = 2.【解】因为三张卡片上的数字和为6，能被3整除，所以用这三个数字任意排成的三位数都能被3整除，因此不可能是质数

再看二张卡片的情形。因为1+2=3，根据同样的道理，用1.2，组成的二位数也能被3整除，因此也不是质数.这样剩下要讨论的二位数只有13、31、23、32这四个了，其中13，31和23都是质数，而32不是质数最后，一位数有三个：1，2，3。1不是质数，2和3都是质数所以，本题中的质数共有五个：2，3，13，23，31

答：共有五个质数：2，3，13，23，31。

3.【解】把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积.就等于所沉入的碎石的体积.因此，沉入在水池中的碎石的体积是:3×3×0.06=0.54(米3)，

而沉入小水池中的碎石的体积是:2×2×0.04=0.16(米3)，

这两堆碎石的体积一共是:0.54+0.16=0.7(米3)

把它们都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的体积也就是0.7米3，

而大水池的底面积是:6×6=36(米3)，

所以大水池的水面升高了:0.7÷36= (米)= (厘米)= (厘米)

答：大水池的水面升高了 厘米。

4.【解】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号为2，3，4，…B孔的编号就是圆圈上的孔数,每隔2孔跳一步，跳在1，4，7，10，…上。最后跳到B孔，因此总孔数是3的倍数加1,同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1;而每隔6孔跳一步最后跳回到A，就意味着总孔数是7的倍数。

如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数。这个15的倍数加上1就等于孔数，而且能被7整除。注意：15被7除余1，所以15×6被7除余6，15的6倍加1正好被7整除。我们还可以看出，15的其他(小于7的)倍数加1都不能被7整除，而15×7=105已经大于100.7以上的倍数都不必考虑，因此，圆圈上总孔数是15×6十1=91

答：圆圈上共有91个孔。

5.【解】714=2×3×7×17.

由此可以看出，要使最下面方框中的数与714互质，在剩下未填的数字2，3，5，6中只能选5，也就是说，第三行的一位数只能填5。

现在来讨论第二行的三个方框中应该怎样填2，3，6这三个数字。

因为任意两个偶数都有公约数2，而714是偶数，所以第二行的三位数不能是偶数，因此个位数字只能是3.这样一来，第二行的三位数只能是263或623.但是623能被7整除，所以623与714不互质.

最后来看263这个数通过检验可知：714的质因数2，3，7和17都不是263的因数，所以714与263这两个数互质,显然，263与5也互质.因此714，263和5这三个数两两互质。于是填法是：

6.【解】为叙述方便，我们把每个路口都标上字母，如图a、图b所示

首先我们将道路图逐步简化。

从A出发经过C到B的路线都要经过DC和GC。面从A到C有两条路线可走：ADC需时间14+13=27(分钟);AGC需时间15+11=26(分钟)。我们不会走前一条路线，所以可将DC这段路抹去。但要注意，AD不能抹去，因为从A到B还有别的路线(例如AHB)经过AD，需要进一步分析。

由G到E也有两条路线可走：CCE需16分钟，GIE也是16分钟。我们可以选择其中的任一条路线，例如选择前一条，抹掉GIE。(也可以选择后一条而抹掉CE。但不能抹掉GC，因为还有别的路线经过它。)这样，道路图被简化成图49的形状。

在图b中，从A到F有两条路线，经过H的一条需14+6+17=37(分钟)，经过G的一条需15+11+10=36(分钟)，我们又可以将前一条路线抹掉(图c)。

图c中，从C到B也有两条路线，比较它们需要的时间，又可将经过E的一条路线抹掉。最后，剩下一条最省时间的路线(图d)，它需要15+11+10+12=48(分钟)。

【又解】要抓住关键点C。从A到B的道路如果经过C点，那么，从A到C的道路中选一条最省时间的，即AGC;从C到B的道路中也选一条最省时间的，即CFB。因而从A到B经过C的所有道路中最省时间的就是这两条道路接起来的，即AGCFB。它的总时间是48分钟。

剩下的只要比较从A到B而不经过C点的道路与道路AGCFB，看那个更省时间。

不经过C点的道路只有两条：①ADHFB，它需要49分钟;②AGIEB，它也需要49分钟。

所以，从A到B最快需要48分钟。

答：最快需要48分钟。

7.【解】梯形ABCD的面积等于EF×AB，而三角彤ABG的面积等于 EG×AB，因此三角形ABG和梯形ABCD的面积比等于 EG与EF的比.由题目的条件，三角形ABG的面积是梯形ABCD的面积的 ，即EG是EF的 .因为EF长15厘米，EG的长就是：15× =6(厘米).

答：EG长6厘米

8.【解】为了使问题简化，我们首先分析一下这三堆砝码之间的关系。很明显，一个3克的砝码加上一个7克的砝码正好等于两个5克的砝码(都是10克)，因此，如果用一个3克的砝码和一个7克的砝码去替换两个5克的砝码，砝码的个数及总重量都保持不变.这样一来，我们就可以把5克砝码两个两个地换掉，直到只剩下一个5克的砝码或者没有5克砝码为止。

问题归结为下面两种情形：

(1)所取的砝码中没有5克砝码。很明显，为了使所取的砝码个数尽量少，应该尽可能少取3克砝码.而130克减去3克砝码的总重量应该是7克的倍数。计算一下就可以知道，取0个、1个、2个、3个、4个、5个3克砝码，所余下的重量都不是7克的倍数。如果取6个3克砝码，那么130克-3克×6=112克=7克×16。于是可以取16个7克砝码和6个3克砝码，总共22个砝码

(2)所取的砝码中有一个5克的。那么3克和7克砝码的总重量是130克-5克=125克.和第一种情形类似，可以算出应取2个3克砝码和17个7克砝码，这样总共有17+2+1=20个砝码

比较上面两种情形，我们得知最少要取20个砝码。取法可以就像后一种情形那样：2个3克的，1个5克的，17个7克的，当然也可以用两个5克砝码换掉一个3克和1个7克的砝码，例如可以取5个5克的和15个7克的.

9.【解】我们知道，每个圆的面积等于直径的平方乘以(π/4)。现在要把5个圆分组，两组的总面积要尽可能接近，或者说;两组总面积的比尽可能接近1.由于每个圆面积都有因子(π/ 4)。而我们关心的只是面积的比，所以可把这个共同的因子都去掉，使问题简化为：将5个圆公成两组，使两组圆的直径的平方和尽可能接近。

5个圆的直径的平方分别是9，16，25,64，81.

这5个数的和是195.由于195是奇数，所以不可能把这5个数分成两组，使它们的和相等.另一方面，81十16=97，9+25+64=98，二者仅相差1.

因此，应该把直径4米和9米的两个花圃交给一个班管理，其余三个花圃交给另一个班管理.

答：应该把直径4米和9米的两个花圃交给一个班管理，其余三个花圃交给另一个班管理。

10.【解】观察一下已经写出的数就会发现，每隔两个奇数就有一个偶数。这个规律是不难解释的：因为两个奇数的和是偶数，所以两个奇数后面一定是偶数。另一方面，一个奇数和一个偶数的和是奇数，所以偶数后面一个是奇数，再后面一个还是奇数。这样，一个偶数后面一定有连续两个奇数，而这两个奇数后面一定又是偶数，等等。

因此，偶数出现在第三、第六、第九…第九十九个位子上。所以偶数的个数等于100以内3的倍数的个数，即等于99÷3=33，于是，这串数的前100个数中共有33个偶数。

本题给出的这串数叫做“菲波那西数列”，又叫“兔子数列”。

答：这串数的前100个数中共有33个偶数。

11.【解】王师傅每两千米应行 ×2(小时)，现来时每1千米行 小时，

所以返回时每1千米应行： ×2- = (小时)

即应以每小时66千米的速度往回开.

【又解】根据题意，如果王师傅往返都以每小时60公里的速度行驶，正好按时返回甲地.也就是说,按计划行驶1公里的时间是 小时.而王师傅从甲地到乙地的实际行驶速度只有55公里/小时，这样一来、实际行驶1公里所花费的时间是 小时,比计划多用 小时，为了能按时返回甲地，王师傅从乙地返回甲地时，行驶1公里所花的时间必须比原计划时间少 小时.也就是说,只能花 = (小时)。因此王师傅往回开的速度应是66公/小时。

答：王师傅应以66公里/小时的速度往回开。

12.【解】首先我们要注意到：父亲和儿子只能在由A沿逆时针方向到B这一段跑道上相遇，而且儿子比父亲跑得快，所以相遇时一定是儿子从后面追上父亲.

儿子跑一圈所用的时间是19×(400÷100)=76(秒)，也就是说，儿子每过76秒到达A点一次。同样道理，父亲每过50秒到达A点一次。在从A到B逆时针方向的一段跑道上，儿子要跑19×(200÷100)=38(秒)，父亲要跑20×(200+100)=40(秒)。因此，只要在父亲到达A点后的2秒之内，儿子也到达A点，儿子就能从后面追上父亲。于是，我们需要找76的一个整数倍(这个倍数是父子相遇时儿子跑完的圈数)，它比50的一个整数倍大，但至多大2。即要找76的一个倍数，它除以50的余数在0到2之间，这试一下就可以了：76÷50余26，76×2÷50余2.正合我们的要求。(在一般情况下，应该先看看76的倍数除以50的余数有什么规律)

因此，在父子第一次相遇时，儿子已跑完2圈，也就是正在跑第3圈

答：儿子在跑第3圈时，第一次再与父亲相遇。

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