第二届华杯赛决赛第二试试题

决赛第二试试题与解答

第二届华杯赛决赛第二试试题：有50名学生参加联欢会。第一个到会的女生同全部男生握过手，第二个到会的女生只差1个男生没握过手，三个到会的女生只差 2个男生没握手，如此等等，最后一个到会的女生同7个男生握过手，问这50名同学中有多少男生?

[解法]从题目中已经知道参加联欢会的男生和女生共有50名。因此，如果知道男生人数与女生人数的差，那么这50名同学中有多少男生就可以知道了。

为了使题目中的条件更容易分析，我们不妨将女生的顺序反过来，从后往前看。也就是说：最后一个到会的女生同7个男生握过手;倒数第二个到会的女生同8个男生握过手;倒数第三个到会的女生同9个男生握过手;如此等等，第一个到会(即倒数最后一个)的女生同全男生握过手，由此立刻可知，男生的人数比女生的人数多6个人，再通过简单的计算就可得到：男生的人数为28人。

答：这对50名同学中有28名男生。

[分析与讨论]这道题实际上也就是大家常说的年龄问题。

分子小于6而分母小于60的不可约真分数有多少个?

[解法]在解这道题时，首先要弄清“不可约真分数”的意思。当分数的分子与分母互质时，这个分数称为不可约分数;当分数的分子小于分母时，这个分数就称为真分数。

弄清了这些概念以后，剩下的问题就是用什么方法将符合题目条件的分数准确地找出来。也就是说，“数”的时候既不能重复又不能遗漏。

由于分子的取值范围是从1到5，明显地小于分母的取值范围，因此自然会想到对分子分别为1，2，3，4，5的情形逐一考虑。

当分子为1时，分母可从2到59，共有58个真分数，它们当然都是不可约分数。

由于2，3，5都是质数，因此当分子分别为2，3，5时，分母必须而且只须适合下列二个条件就可以了.

1)分母大于分子且小于60.

2)分母不是分子的倍数。

经过简单的计算(请同学们仔细算一算)。可以知道：

当分子为 2时，适合条件的分母有29个

当分子为3时，适合条件的分母有38个、

当分子为5时，适合条件的分母有44个

最后来看分子为4的情形。因为4不是质数，所以不能照搬上面的算法。也就是说，不能只将4的倍数去掉，应该去掉偶数。这样一来，分母就只有从5到59的奇数了，一共有28个。

总之，符合要求的分数共有

58+29+38+44+28=197(个)

答：分子小于6而分母小于60的不可约真分数共有197个。

[分析与讨论]这道题并不难，但容易算错。有不少同学的方法是对的，但算不清楚。例如：有的同学忘了“真分数”的条件，不管分子是几，分母都从1算起。还有不少同学在讨论分子为4的情形时，分母只去掉了4的倍数，而忘掉了2的倍数与4也不互质。

另外，还有少数同学直接讨论分母，当然就乱成一团了。

计算能力是数学的一项基本功，同学们应该从小就扎扎实实地打好基础。千万不能“眼高手低”。

己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0(参看图61)?

[解法] 对一般的几个整数的乘积，如果要确定它后面有几个0. 可以用这样的办法：把每个乘数分解质因数，把分解中2的重数加起来，5的重数也加起来，看哪一个小，哪一个就是乘积尾部0的个数。这是因为10=2×5，所以乘积尾部有个0，质因数2和5的重数就至少是几。

我们可以分别计算质因数2和5的重数。为此我们画两个图(图 62、图 63)：

图中的数字是这样填的：以2的重数为例，第一行第一个数13不含因数2，在这个位置填0，第二个数12含2重因数2(12=2×2×3)，在这个位置填2，等等。下面各行各数都是肩上两数的和(因为乘积的因数2的重数等于各乘数的因数2的重数的和)。

这样我们就把图61中每个圈中数的质因数分解中的2的重数和5的重数分别标在图62和图63中了。特别地，最下面一个数的质因数分解中2的重数是10，5的重数是15，所以它尾部应该有10个0。

答：可以连续地数到10个0。

[分析与讨论]因为数字不太多，图62和图63的圈是逐个填上的。如果第一行的数再多几个的话;最好还是先找找各圈中数的规律。我们先看第二行。第二行第一个数是第一行第一、二个数的和，第二个数是第一行第二、三个数的和，等等。再看第三行。第三行第一个数是第二行第一、二个数的和，也就等于第一行第一个数加上第二个数的2倍再加第三个数。类似地，第三行第一个数等于第一行第一个数加第二个数的3倍加第三个数的3倍加第四个数。最后，最下面一个数等于第一行的数分别乘以1，4，6，4，1再加起来，如

0×1+2×4+0×6+0×4+2×1=10，

0×1+0×4+1×6+2×4+1×1=15。

总之，在一般情况下，每个圈中的数可以这样得到：在第一行找出与这个圈有直线相连的两个圈、将这两个圈之间的圈(包括这两个圈)中的数分别乘以一个整数再加起来，所乘的整数见图64：

图中的乘数排列成一个三角形，这就是著名的“扬辉角”，其中的每个数部称为“组合数”。将来同学们在学习排列组合时，会知道杨辉三角有很多有趣的性质。参看华罗庚：《从杨辉三角谈起》。

用1分、2分和5分的硬币凑成一元钱、共有多少种不同的凑法?

【解法】为了找到简捷的解法，我们先将问题作一番分析。首先注意.要确定二种凑法是否相同，只要看二种凑法中所用的二分硬币的个数和五分硬币的个数是否分别相等就可以了。其次，用一分，二分和五分硬币凑成一元钱与用二分和五分硬币凑成不超过一元钱的凑法是一样的。最后，不难看出，二分硬币最多用50个，五分硬币最多用20个。

经过上面的分析，我们看到问题的提法可以改为：

有二分硬币50个，五分硬币20个。问：凑成不超过元钱的个同凑法有多少种?

这个问题的解法有很多，这坐我们将给出二种不同的解法。

【解法1】这是一种直接的解法。基本想法是按1五分硬币的个救将所有凑法分类。

假定五分硬币有20个，则没有二分硬币，因此只有一种凑法。假定五分硬币有19个，币值为5×19=95分， 因此要使总币值不超过1元=100分，所取二分硬币的币值不能超过5分。很明显，二分硬币的个数可以为0个，1个，或2个，这样就有三种不同的凑法。如此继续下去，可以看出不同的凑法共有

1+3+6+8+11+13+……+48+51

=(1+48)+(3+46)+(6+43)+……+(23+26)+51

=49×10+51

=541(种)

答：共有541种凑法。

【解法2】这是一种比较巧妙的简便算法。

将 50个二分硬币和20个五分硬币分成甲、乙二组。 因为这些硬币的总币值为 50×2+20×5=200(分)。所以甲、乙二组的币值无非是下面三种情形;

(1)甲组的钱比一元少，乙组的钱比1元多。

(2)甲组的钱比一元多，乙组的钱比1元少。

(3)甲、乙两组的钱相等，都是一元钱。

这里有两点要特别注意：第一，情形(1)与情形(2)是对称的，只不过甲和乙交换了位置。第二，(1)的所有可能性加上(3)的所有可能性就是我们的问题的答案。

那么(1)，(3)的个数各有多少呢?

先计算一下上面的分组总共有多少不同的方法。因为二分硬币有50个，所以有51种分法。类似地，五分硬币有20个，所以有21种分法。这样总共就有21×51种不同的分法。

再来看甲，乙两组的钱都是一元这种情形的分法有多少种?很明显，这时五分硬币必须有偶数个(为什么?)，所以五分硬币的数可以为0个，2个，……，20个，共有十一种分法。

根据情形(1)和情形(2)的对称性，容易知道(1)的个数为(21×51-11)÷2=530

(1)的个数加上(3)的个数是530+11=541(种)这就是答案。

【分析与讨论】这是一道思考与计算相结合的题。用解法1来做的同学比较多。但大部份同学都没有算对，也许是“数”不清楚吧。学会“数”数是数学原基本的功夫，可不能马虎。提高你的“数”数能力，不妨换个方法试试。

解法2避免了较多的计算，但不容易想到。建议同学们仔细想清楚，或许能从中得到一点启示。有的同学在答卷上写了一个方程式

X+2Y-5Z=100.

X、Y、Z分别为一分，二分和五分硬币的个数。这个方程式当然是对的，但怎样解?答卷上找不到下文。解法二实际上是上述方程的一种解法。

有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送。第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行;车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫。学生步行速度为每小时4公里，载学生时车速每小时40公里，空车每小时50公里。问：要使两班学生同时到达少年宫，第一班学生步行了全程的几分之几?(学生上下车时间不计)

【解法】首先注意，由于两个班的同学都是一段路步行一段路乘车，而乘车的速度比步行快，中间又没有停留，因此要同时到达少年宫，两个班的同学步行的路程一定要一样长。

我们画一个图(见图书65)来分析。图中A是学校，B是少年宫，C是第一班学生下车的地点，D是第二班学生上车的地点。由上所述AD和CB一样长。设第一班同学下车时，第二班同学走到E处。由于载学生时车速为每小时40公里，而步行的速度为每小时4公里，是车速的1/10，因而AE是AC的1/10。在第一班学生下车后，汽车从C处迎着第二班学生开，车速是每小时50公里，而第二班学生从E处以每小时4公里的速度向前走，汽车和第二班学生在D点相遇。这是普通的行程问题，不难算出

ED是EC的 ，由于EC是AC的 ，

可见ED是AC的　　 。

这样AD就是AC的 最后，由于AD=CB， A D就是A B的 答：第一班学生步行了全程的 。

【分析与讨论】这道题比普通行程问题略为复杂一些，有不少同学做出来了，而且方法也很多。有兴趣的同学可以想想其它的解法，如列方程的方法，并比较一下各种解法的不同。

下面是两个1989位整数相乘：

问：乘积的各位数字之和是多少?

【解】首先注意1989是9的倍数。由9的倍数的判定法则，我们知道

也是9的倍数。

事实上，1989=221×9，111111111=12345679×9。

所以 　　另一方面， 因此

=1234567901234…01234156 ×(101989-1)

= = ↑

如果把最末一个1并到箭头所指的8上去，我们就得到221个12345679和221个98765432。所以各位数字的和是221×81=17，901。

答：乘积的各位数字的和是17，901。

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