第二届华杯赛决赛面试试题

决赛面试试题与解答

图66

第二届华杯赛决赛面试试题：图66是一个对称的图形。黑色部分面积大还是阴影部分面积大?

【解法】因为是对称图形、四个小圆半径相等，且恰好是大园半径的一半。这样，每个小圆面积等于大圆面积的 ，四个小圆面积之和正好等于大圆面积。

阴影部分是四个小圆相重迭的部分，而黑色则是由于重迭而空余出来的部分，所以这两部分面积相等。

答：一样大。

你能不能将自然数1到9分别填入图67的方格中，使得每个横行中的三个数之和都是偶数?

【解法】 9个自然数中有5个奇数，所以这9个数字之和一定是奇数。如果每一行3个数的和都是偶数，那么9个数之和便是偶数，这是不可能的。

答：不可能。

司机开车按顺序到五个车站接学生到学校(图68)。每个站都有学生上车。第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半。车到学校时，车上最少有多少学生?

【解法】因为每个站都有学生上车，所以第五站至少有1个学生上车。假如第五站只有一个学生上车，那么第四、三、二、一站上车的人数分别是2，4，8，16个。因此五个站上车的人数共有

1+2+4+8+16=31(人)

很明显，如果第五站有不止一个学生上车，那么上车的总人数一定多于31个.

答：最少有31个学生。

图69中五个正方形的边长分别是1米、2米、3米、4米、5米。问：白色部分面积与阴影部分面积之比是多少?

【解法1】先分别算出这两部分的面积。根据正方形面积公式，白色部分的面积是

(22-12)+(42-32)=10平方米

阴影部分面积是大正方形面积减去白色部分面积，即等于

52-10=15平方米。

因此白色部分与阴影部分面积之比是10∶15，

即2∶3。

答：2∶3。

【解法2】我们先来看看怎样计算每个方框的面积。以最外面的方框为例;如囹70所示，按虚线将方框剪开、再拼成两个宽的1米，长分别为4米和5米的矩形。可见方框的面积等于4+5(平方米)。

按这个方法，可知阴影部分的面积是

1+2+3+4+5=15(平方米)

而白色部分的面积是

1+2+3+4=10(平方米)

所以白色部分和阴影部分的面积比是10∶15=2∶3

【分析与讨论】计算方框面积的方法很多。由于本题方框个数少，各种计算方法差别不大。如果方框多一些，解法2就有明显的优越性了。

用1、2、3、4、5这五个数两两相乘。可以得到10个不同的乘积。问乘积中是偶数多还是奇数多?

【解法】如果二个整数乘积是奇数，那么这二个整数都必须是奇数。五个数中有三个奇数，这三个奇数两两相乘，只有3个乘积，也就是说总共只有3个奇数。而偶数的乘积有 10-3=7个，因此偶数多。

答：乘积中偶数比奇数多。

1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)=?

【解法】如果去掉括号，第一个3前面变为×号，第二个3前面仍为÷号，所似3可以约掉。同样， 4和5都可以约掉，只剩下

1÷2×6=3

答：原式=3。

【分析与讨论】本题是抢答题，要求四则运算熟练准确。如果列出算式计算便嫌太慢了，必须用心算很快算出来。

将右边的硬纸片沿虚线折起来。便可作成一个正方体。问：这个正方体的2又号面对面是几号面?

【解法1】正方体中，相对的两个面个能有公共顶。给出的硬纸片中，1、3、4、5号面都与2号面有公共顶点，只有6号面与2号而没有公共顶点，所以2号面的对面是6号面。

【解法2】这道题的目的是检查同学们对简单的空间图形的想象力。在下面的解法中、请同学们注意空间图形面展开图之间的联系。

我们先来看一个简单的情形(图72)。

左图是平面展开图，而右图是立体图。对于这个圆形，很容易看出：1、2、4、6这四个面围成立方体的四个侧面，3号面为顶面，5号面为底面。因此，1号面的对面是4号面;2号面的对面是6号面; 3号面的对面是5号面。

我们现在换一个方式将立方体拆开，看新的平面展开图是什么形状?例如：将4号面与6号面的公共边剪开，将6号面与5号面粘上，这样，平面展开图就成了图71。

也就是说：图71和图72只不过同一个立方体的不同平面展开图而已，因此，图71中2号面的对面是6号面。顺便说一句，我们也同时知道了1号面，3号面的对面分别是4号面和5号面。

答：2号面的对面是6号面。

【分析与讨论】空间图形的想象力是数学的基本功之一。如果同学们对这个问题有点生疏的话，不妨自己动手用硬纸片做一个立方体。然后再用不同的方法展开成平面图。

为了帮助大家加深理解，我们再出一道思考题，有兴趣的同学可以想一想。

【思考题】图73的两块纸板能不能折成正方体盒子? 如果能，请指出每个面的对面是哪一个面;如果不能，请说明原因。

下面是一个11 位数，它的每三个相邻数字之和都是20。如你知道打“?”的数字是几?

【解法】因为每相邻3位数字之和为20，从左数起第一位数字9与第二、三位数字之和为20，第二、三位数字与第四位数字之和也走20，所以第四位数字是9。这样，我们便找到一条规律：每隔2位必出现相同的数字!

现在从最末一位数字7开始，每隔2位跳一次，正好跳到打“?”处、所以打“?”的数字应该是7.

答：打“?”的数字是7。

有八张卡片。上面分别写着自然数1到8(图74)。从中取出三张，要使这三张卡片上的数字之和为9。问有多少种不同的取法?

【解法】先确定三张卡片中数字最大的卡片。

8、 7都不用考虑，因为最小的两张卡片(1和2)相加都超过9。

最大数字为6时，与之搭配的只有1和2;

最大数字为5时，与之搭配的只有1和3;

最大数字为4时，与之搭配的只有2和3;

如果最大数字不超过3，三张卡片数字之和小于9。

所以，只有3种不同的取法。

答：有3种不同的取法。

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