第三届华杯赛复赛试题答案

参考答案

第三届华杯赛复赛试题答案：1. 　　2.星期四　　3.77　　4.19　　5.43365　　6.90立方厘米　　7.24;28　　8.9种

9.48个　　10.165　　11.72岁　　12.39名　　13.179个　　14.1001　　15.1.1　　16.0

1.【解】原式= = = 解法二：原式= = = = 算这个题时，要注意两点：

(1)在乘、除运算中，代分数要化为假分数，及时约分;

(2)在加、减运算中，如果分数、小数同时出现，要么都化为分数，要么都化为小数。

这里，还要指出： ， ， ， ， ， ， 的小数形式0.5，0.25，0.75，0.125，0.375，0.625，0.875，一定要很熟悉，在具体计算时，可以节省时间。

2.【解】10月有31天，因为有5个星期六，只有4个星期日，所以10月31日是星期六.

因为31=4×7+3，所以，3日也是星期六，1日是星期四

3.【解】电子跳蚤每跳12步就回到了原来位置

由于1991=165×12+11

所以红跳蚤从标有数字“0”的圆圈出发，按顺时针方向跳了1991步时，跳到了标有数字“11”的圆圈

同理，由1949=162x12+5，知道黑跳蚤从标有数字“0”的圆圈按逆时针方向跳了162个12步后跳到了标有数字“7”的圆圈，于是所求的乘积是11×7=77

答：乘积是77。

4.【解】∵ 能被9整除的四位数的数字和是9的倍数，并且四位数173□前三个数字的和是11，

∴第一次□内只能填7，

∴能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得到的差是11的倍数，而7-(1十3)=3，

∴第二次□内只能填8，

∵能被6整除的自然数是偶数，并且数字和是3的倍数.而173□的前3个数字的和是11，

∴第三次□内只能填4，7+8+4=19。

故所求的和是19。

5.【解】不超过300的平方数，有：

1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，它们的和是1785

前300个自然数的和是：1+2+3+…+300= ×300=45150，

于是剩下的自然数的和45150-1785=43365

6.【解】容器的底面积是：(13—4)×(9-4)=45(平方厘米)，

高为2厘米，所以容器的体积是，45×2=90(立方厘米)

答：容器的体积是90立方厘米。

7.【解】∵每人的环数的积=1764≠0，

∴两人每箭射中的环数里没有“0”和“10”.

∵每箭射中的环数都是1764的因子，而：1764=1×2×2×3×3×7×7，

并且环数是不超过10的自然数∴必有两箭是7环，其它3箭的环数是1·2·2·3·3因子。

如果最小的因子是1，那么，另外两个因子是4、9或者是6、6;

如果最小的因子是2，那么，另外两个因子是2，9或者是3、6;

如果最小的因子是3，那么，另外两个因子是3、4。

因此，两人5箭的环数有5种可能：

7，7，1，4，9，和=28;

7，7，1，6，6，和=27;

7，7，2，2，9，和=27;

7，7，2，3，6，和=25;

7，7，3，3，4，和=24;

∵甲、乙的总环数相差4，甲的总环数少，

∴甲的总环数是24，乙的总环数是28。

答：甲、乙的总环数分别是24、28。

8.【解】从A点出发，经过的第一条线段，有3种可能：(1)AB;(2)AE;(3)AD

在每一种可能情形下，各有3种走法.所以，一共有3×3=9种走法.

答：共有9种走法.

9.【解】设原正方形的边长是3.所求的三角形可分两种情形：

(1)三角形的一边长2，这边上的高是3这时，长为2的边只能在原正方形的边上，

这样的三角形有2×4×4=32(个);

(2)三角形的一边长3，这边上的高是2，这时，长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线其中，

与(1)重复的三角形不再算入，这样的三角形有8×2=16(个)

因此，所求的三角形共48个(包括图中开始给出的三角形).

10.【解】 <12× = 　并且 >12× = 　∴S>165并且s< = 　即S的整数部分是165

11.【解】祖父的年龄比小明的年龄大，两人的年龄差是不变的.

因为今年祖父的年龄是小明的年龄的6倍.

所以年龄差是小明年龄的5倍，从而年龄差是5的倍数.

同理，由“几年后，祖父的年龄是小明的年龄的5倍”、“又过几年以后，祖父的年龄是小明的年龄的4倍”，知道年龄差是4、3的倍数，所以，年龄差是：5×4×3=60的倍数。而60的倍数是：60，120，…，合理的选择是60，于是，今年小明的年龄是60÷5=12(岁)，祖父的年龄是12×6=72(岁).

答：祖父今年是72岁

【又解】　设今年小明x岁，那么今年祖父6x岁。y年后，祖父的年龄是小明的年龄的5倍，所以5(x+y)=6x+y即x=4y ， 又过z年以后，祖父的年龄是小明的年龄的4倍，

所以4(x+y+z)=6x+y+z即 2x=3y+3z

∵祖父今年6x岁，

∴ 6x≤100　　 　又∵x=4y　∴x≥4

由 及x=4y，知x可能是4，8，12，16.

又从2x=3y+3z，即y+z= x，知x是3的倍数，所以x=12，于是6x=72。

12.【解】4+17+18+15中有两项达到优秀的学生被算了2次，应当从统计中去掉1次，成为4+17+18+15-6-6-5

但其中三项达到优秀的人，开始被算了3次，然后又被去掉3次，所以还应将这部分人数加进来，即全班人数是：4+17+18+15-6-6-5+2=39

【又解】先求至少有一个项目达到优秀的学生人数，看下面这个图：

图中时三个圆圈分别代表短跑、游泳、篮球达到优秀的学生人数，其中的

“1”表示三个项目都优秀的人数，是：2;

“2”表示篮球、游泳达到优秀，但短跑没有达到优秀的人数，是：6-2=4;

“3”表示篮球、短跑达到优秀，但游泳没有达到优秀的人数，是：5-2=3;

“4”表示游泳、短跑达到优秀，但篮球没有达到优秀的学生数，是：6-2=4;

“5”表示只有短跑一项达到优秀的人数，是：17-(2+3+4)=8;

“6”表示只有游泳一项达到优秀的人数，是：18-(2+4+4)=8;

“7”表示只有篮球一项达到优秀的人数，是：15-(2+4+3)=6，

∴只有一个项目达到优秀的人数是：2+4+3+4+8+8+6=35

还有4个人在三个项目上未达到优秀，所以全班学生数是35+4=39

答：这个班有39名学生。

13.【解】6、7、8、9的最小公倍数是504;五位数中，最小的是10000，最大的是99999：

∵ 　∴五位数中，能被504整除的有198-19=179(个)

答：有179个

14.【解】原式=1+(5-3)+(9-7)+(13-11)+…+(2001-1999)=1+2×500=1001.

15.【解】每个圆环的面积是π( )=9π.

如果五个圆环彼此没有重合的部分，则它们的总面积是：5×9π=45π所以它们的比= = 　答：白色与黑色小三角形个数之比是 .

11.【解】每个方框中的数字只能是0～9，因此任两个方框中数字之和最多是18.现在先看看被加数与加数中处于“百位”的两个数字之和，这个和不可能小于18，因为不管它们后面的两个二位数是什么，相加后必小于200，也就是说最多只能进1.这样便可以断定，处于“百位”的两个数字之和是18，而且后面两位数相加进1，同样理由，处于“十位”的两个数字之和是18，而且两个“个位”数字相加后进1。因此，处于“个位”的两个数字之和必是11，6个方框中数字之和为18+18+11=47

【又解】被加数不会大于999，所以加数不会小于1991-999=992。同样，被加数不会小于992也就是说，加数和被加数都是不小于992，不大于999的数这样便确定了加数和被加数的“百位”数字和“十位”数字都是9，而两个个位数字之和必是11。

于是，总和为9×4+11=47

12.【解】适合要求的两位数中，个位数字小于十位数字可将它们列出来：

十位数字个位数字

10

20，1

30，1，2

………

90，1，2，…，8

因此，适合要求的两位数共有

1+2十3+…+9= =45(个)

13.【解】第一次乙杯中酒精溶液的一半倒入甲杯后，甲杯中的溶液含酒精为25%;第二次将甲杯中酒精溶液倒入乙杯，此时乙杯中的酒精为溶液的 ×25%+ ×50%= + = .

14.【解】设10环小圆半径是1，那么l环的外圆半径是lO，内圆半径是9。

10环面积=π，1环面积=π× -π× =19π。 ，

因此10环面积是1环面积的 。

15.【解】设至少过n个星期，可能第n个星期六休息，也可能第n个星期六不休息(在星期天与星期一连休2天)，前者得出：7n-2=10K+8(1)，后者得出：7n—1=10K+8(2)，其中K是自然数

(1)即　7n=10(K+1)，因此，n是10的倍数，至少是10

(2)即　7n=10K+9，它表明7n的个位数字是9，所以n=7，17，…

于是至少再过7个星期后，才能又在星期天体息。

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