第三届华杯赛决赛二试试题答案

参考答案

第三届华杯赛决赛二试试题答案：1.361，400，441，484，529，576和625

2. 倍

3.余数是8

4.男女生人数比为6∶5

5.共有6种不同的积木块

6.在第五、六两站之间，客车与3列货车相遇

1.【解】如果a是自然数n的约数，那么 也是n的约数，所以，n的约数a与 可以配成一对，只有在n=a2时.a与 才会相等，所以在n不是平方数时，它的约数两两配成.从而约数的个数是偶数;在n是平方数a2时，它的约数a只能与自己配对，所以n的约数个数是奇数。在360到630间有7个平方数

(192=361>360.252=625<630，25-19+1=7)，所以有7个数的约数个数为奇数,它们为：361，400，441，484，529，576和625。

2.【解】 ： =80：40=2：1，

： =60：30=2：1. 　 ： =60：30=2：1.

所以，( + )：( + )=(2 + )：2 =5 ：4 =5：4。

答：丙与丁这两个三角形的面积之和是甲与乙两个三角形面积之和的 倍。

3.【解】199119911991被13整除。有1991个1991因为1991除以3余2，所以a除以13与19911991除以13，所得余数相同。19911991除以13余8，因此a除以13的余数也是8

答：a除以13所得余数为8。

4.【解】已知全班平均成绩是78分，而男生平均成绩为75.5分，因此每个男生比平均分少(78-75.5)分，而每个女生比平均分多(81-78)分。

男生总共少的分数应该等于女生总共多的分数，所以有(78-75.5)×男生数=(81-78)×女生数，

因此，男生数∶女生数=(81-78)∶(78-75，5)=6∶5

答：男、女生人数比是6∶5

【又解】设男、女生人数分别为a、b，则　75.5×a+81×b=78×(a+b)

所以　(8l一78)×b=(78-75.5)×a

答：男、女生人数的比是6∶5，

5.【解】总可以使下底面为红色.

如果上底面也是红色，通过翻动，可以使前面为黄色，左面不是黄色，这时后面可以是黄色，也可以是蓝色，有2种。

如果上底面不是红色，通过旋转，可以使后面为红色，这时又分两种情况：

(1)前面与上面同色，可以同为黄色，也可以同为蓝色，有2种。

(2)前面与上面不同色，通过翻动，可以使上面为黄色，前面为蓝色，这时右面可以是黄色，也可以是蓝色，有2种。

因此，共可涂成2+2+2=6种不同的积木块。

6.【解】每5分钟发出一列货车，货车速度为每小时60千米，即每分钟1千米.所以每两列相继的货车相距5千米

第1列货车行了1小时，客车才出发，所以两车之间距离为7×(11-1)-60×1=10(千米)，

两车经　 (小时)

相遇，距第一站　 (千米)

由于每两列相继货车相距5千米，所以客车遇到一列货车后，再行　 (千米)，

便遇到下一列货车。

如果A、B是两个相邻的车站，那么当客车在这两站之间遇到3列货车时，与第1列货车相遇的地点A点的距离应不超过　7- ×2= (千米).

反过来，在这条件满足时，客车在A、B之间与三列货车相遇.

设客车遇到第n+1列货车时，在A、B两个相邻的车站之间，并且在这两个车站之间又接连再遇到两列货车，那么客车行了　 (千米)

并且与第m+1个站A的距离不超过 千米，从而　 -7m≤ 即　25(n+2)-56m≤6(1)

(1)式表明25的某个倍数，除以56后，余数≤6。

不难通过验算发现25×9=225=56×4+1，所以在第5个站与第6个站之间，客车遇到三列货车。

接下去满足(1)式的是　25×9×2=56×4×2+2

但这时，n+1=9×2-1=17.客车遇到第n+1列货车后，只能再与一列货车相遇

所以本题的答案是：在第5个站与第6个站之间，客车与三列货车相遇。

【注】如果本题货车有19列或更多列，那么在第9个站与第10个站之间，客车也与三列货车相遇

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