第十届华杯赛决赛试题及解答：

一、填空(每题10分，共80分)

1.下表中每一列为同一年在不同历法中的年号，请完成下表：

2.计算：

① 18.3×0.25+5.3÷0.4-7.13 = (　);　　② = (　)。

3.计算机中最小的存储单位称为“位”，每个“位”有两种状态：0和1。一个字节由8个“位”组成，记为B。常用KB，MB等记存储空间的大小，其中1KB=1024B， 1MB=1024KB。现将240MB的教育软件从网上下载，已经下载了70%。如果当前的下载速度为每秒72KB，则下载完毕还需要(　)分钟。(精确到分钟)

4.a，b和c都是二位的自然数，a，b的个位分别是7与5，c的十位是1。如果它们满足等式ab+c=2005，则a+b+c=(　)。

5.一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积(图1中的阴影部分)和正方体体积的比是(　)。

6.某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是4∶3∶2，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是0.9元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为0.4元，一个集装箱可以节省6.5元，则集装箱总的表面积是(　)平方米，体积是(　)立方米。

7.一列自然数0，1，2，3，…，2005，…，2004，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024。现在将这列自然数排成以下数表：

0 3 8 15 …

1 2 7 14 …

4 5 6 13 …

9 10 11 12 …

… … … … …

规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第(　)行和第(　)列。

8.图2中，ABCD是长方形，E，F分别是AB，DA的中点，G是BF和DE的交点，四边形BCDG的面积是40平方厘米，那么ABCD的面积是(　)平方厘米。

图2

二、解答下列各题，要求写出简要过程(每题10分，共40分)

9.图3是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成。请仔细观察这个美丽的图案，并且回答风筝形砖的四个内角各是多少度?

10.有2、3、4、5、6、7、8、9、10和11共10个自然数，

①从这10个数中选出7个数，使这7个数中的任何3个数都不会两两互质;

②说明从这10个数中最多可以选出多少个数，这些数两两互质。

11.一个直角三角形的三条边的长度是3、4、5，如果分别以各边为轴旋转一周，得到三个立体。求这三个立体中最大的体积和最小的体积的比。

12.A码头在B码头的上游，“2005号”遥控舰模从A码头出发，在两个码头之间往返航行。已知舰模在静水中的速度是每分钟200米，水流的速度是每分钟40米。出发20分钟后，舰模位于A码头下游960米处，并向B码头行驶。求A码头和B码头之间的距离。

三、解答下列各题，要求写出详细过程(每题15分，共30分)

13.已知等式其中A，B是非零自然数，求A+B的最大值。

14.两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”(见图4)。如果在平面上画L条直线，要求它们两两相交，并且“夹角”只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，问：

(1)L的最大值是多少?

(2)当L取最大值时，问所有的“夹角”的和是多少?

参考答案

一、填空

1. 145　　2.27　　3. 10005与10020

二、解答题

4. 红色八边形的面积是

5. 至少有25名小朋友6. 甲到过山顶9次

1.【解】甲跑1000米，乙跑了950米，乙跑1000米，丙跑900米，

所以甲跑1000米时，丙跑了950× =855(米)，丙距终点1000-855=145(米).

2.【解】设中间数为n则(n-2)×n×(n+2)=2***3，又知(n-2)×(n+2)< ，而 =19683，所以，n应大于27，而7×9×1=63，故最小数应为27，27×29×31=24273，符合题意，并且是唯一解.

3.【解】能被15整除的最小5位数是10005，10005+15=10020，按照题目所给的操作，只需将这两个五位数取为10005和10020，则经过1次操作，较小的数变为15，较大的数变为10005，再经若干此次操作，较小的数一直不变，较大的数每次减少15，直到较大的数变为30，再经一次操作两个数都变成了15.

4.【解】如图，易知蓝边正方形面积为 ，△ABD面积为 ，△BCD面积为 ，

所以△ABC面积为 - = ，可证AE∶EB=1∶4，

黄色三角形面积为△ABC的 ，等于 ，由此可得，所求八边形的面积是： .

至此，我们对各部分的面积都已计算出来，如下图所示.

【又解】设O为正方形中心(对角线交点)，连接OE、OF，分别与AF、BG交于M、N，设AF与EC的交点为P，连接OP，△MOF的面积为正方形面积的 ，N为OF中点，△OPN面积等于△FPN面积，又△OPN面积与△OPM面积相等，所以△OPN面积为△MOF面积的 ，为正方形面积的 ，八边形面积等于△OPM面积的8倍，为正方形面积的

 .

5.【解】不超过15元可购买商品的方法有：

共12种方法，所以如果有25人，必然会有3人购买的商品完全相同.

答：至少有25名小朋友.

6.【解】不妨设想为在一条直线上的运动，将上山的路程看作下山路程的1.5倍，并设AC=1，则CB=2，下山路程=2，将上山、下山一个全程看作5，重复在一条直线上进行.如下图：

B点表示山顶，甲到达山顶所走的路程可以表示为：5×n-2(其中n为整数，表示到达山顶的次数)，此时乙所走的路程为(5×n-2)× ，乙处于的位置为(5×n-2)× ÷5=(5×n-2)÷6的余数，设此余数为k，当0

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

k 3 2 1 0 5 4 3 2 1

即当甲第二次在山顶上看到乙在AC段上爬时(包括此时)，甲到过山顶9次.

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