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六年级奥数“对角线等分”知识

正方形、长方形、平行四边形的对角线，将这些图形等分成两个完全一样的三角形。应用这一特性，可以使一些几何图形题得解。下面略举几例说明之。

例1 如图1，每一小方格的面积为2平方厘米，求图中四边形ABCD的面积。

分析与解 四边形ABCD是一个不规则的图形，无法直接求出它的面积。但可考虑先求大长方形E-FGH的面积：2×(5×6)=60(平方厘米)，再减去四个角上的小三角形的面积，可各三角形的底和高都不知道。根据“对角线等分”知识，在长方形AEBQ中，AB是对角线，长方形的面积是：2×(3×4)=24(平方厘米)，则S△AEB=S△ABQ=24÷2=12(平方厘米);同理，线段AD、CD、BC分别是长方形AFDM、DGCN、BHCP的对角线，可求得：S△AFD=S△AMD=2×(2×2)÷2=4(平方厘米)，S△GCD=S△CDN=2×(3×3)÷2=9(平方厘米)，S△HBC=S△BCP=2×(2×3)÷2=6(平方厘米)。因此，四边形ABCD的面积是：60-12-4-9-6=29(平方厘米)。也可以把四边形ABCD分割成几部分，求出三角形ABQ、AMD、CDN、BCP的面积之和，再减去重复的小正方形MNPQ的面积，即S=12+4+9+6-2=29(平方厘米)。

例2 如图2，平面上有21个点，其中每相邻三点“∴”或“∵”所形成的等边三角形，面积是1平方厘米，试计算三角形ABC的面积。

分析与解 题目中没有告诉我们任何一条边的长度，只说每相邻三点所形成的三角形的面积为1平方厘米，因此，必须从△ABC包含多少个相邻三点所组成的三角形这方面考虑。根据“对角线等分”知识，分别以边AB、BC、AC为平行四边形AIBF、BHCE、AGCD的对角线(如图2，为了便于叙述，在相应的点中添上字母，并用虚线连接)。从图中可见，平行四边形AIBF的面积是4平方厘米，AB是其对角线，则S△ABF=4÷2=2(平方厘米);同理可求得：S△BCE=8÷2=4(平方厘米)，S△ACD=6÷2=3(平方厘米)。而三角形DEF的面积正好是1平方厘米，所以，S△ABC=2+4+3+1=10(平方厘米)。

例3 如图3，在正方形ABCD内有一个上底为3分米的直角梯形，梯形的面积比三角形的面积大15平方分米。求正方形的边长。

分析与解 由于这道题的条件较少，难以直接从图中寻找到解法。必须根据“梯形的面积比三角形的面积大15平方分米”这一条件，设法把两个面积之差在图上表示出来，再去寻找已知数量与所求数量的联系。过E点，作BC边的垂线，交BC于F点，即EF把正方形分割成两个长方形，而BE是长方形ABFE的对角线，则S△ABE=S△BEF，由此可知，梯形与三角形的面积之差(15平方分米)，正好是长方形CDEF的面积，ED是3分米，则正方形的边长是：15÷3=5(分米)。

“对角线等分”知识，对于小学生来说，是个简单易学的内容。学生可通过实际操作，运用剪、折、拼、摆等方法，直观形象地掌握这一特性。其实，在平行四边形、三角形的面积计算公式的推导过程中(义教六年制第九册)，也可以应用“对角线等分”知识进行教学。教学平行四边形的面积计算公式时，第一步是用数方格的方法求出平行四边形的面积，并且规定：“不满一格的，都按半格计算。”教师还应指出这种方法的计算结果不够精确，学生自然也对此法表示怀疑，甚至怀疑这一结果与平行四边形的底和高的联系。因此，这种方法学生学起来总觉得心理不踏实，担心答案的准确性。在教学中，我尝试应用了“对角线等分”知识，学生的疑虑消除了，同时也懂得应用此特性，准确数出三角形的面积，解答类似竞赛题，起到了举一反三的作用。所以，教学中可适当渗透“对角线等分”知识。鉴于此，教材是否也可以适当增加此项内容呢?此乃个人浅见，仅供同行参考。

以上就是六年级奥数“对角线等分”知识全文，希望能给大家带来帮助！

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