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一、四种常见几何体的平面展开图

1.正方体

沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6―1。

图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法(从略)。

2.长方体

沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6―2。图6―2只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法(从略)。

3.(直)圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。图6―3就是圆柱的平面展开图。

4.(直)圆锥体

沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见图6―4。

二、四种常见几何体表面积与体积公式

1.长方体

长方体的表面积=2×(a×b+b×c+c×a)

长方体的体积=a×b×c(这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高)。

2.正方体

正方体的表面积=6×a2

正方体的体积=a3(这里a为正方体的棱长)。

3.圆柱体

圆柱体的侧面积=2πRh

圆柱体的全面积=2πRh+2πR2=2πR(h+R)

圆柱体的体积=πR2h(这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高)。

4.圆锥体

圆锥体的侧面积=πRl

圆锥体的全面积=πRl+πR2

母线长与高)。

三、例题选讲

例1图6―5中的几何体是一个正方体，图6―6是这个正方体的一个平面展开图，图6―7(a)、(b)、(c)也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。

分析与解：从图6―5和图6―6中可知：

 与

;

与

;

与

互相处于相对面的位置上。只要在图6―7

(a)、(b)、(c)三个展开图中，判定谁与谁处在互为对面的位置上，则标有数字的四个空白面上的图案便可以补上。

先看图6―7中的(a)，仔细观察可知，1与4，3与

处在互为对面的位置上。

再看图6―7中的(b)，同上，1与3，2与

处在互为对面的位置上。

最后再看图6―7中的(c)，同上，1与

，2与4处在互为对面的位置上。

图6―7(a)、(b)、(c)标有数字的空白面上的图案见图6―8中的(a)、(b)、(c)。

例2 图6―9中的几何体是一个长方体，四边形APQC是长方体的一个截面(即过长方体上四点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形)，P、Q分别为棱A1B1、B1C1的中点，请在此长方体的平面展图上，标出线段AC、CQ、QP、PA来。

分析与解：只要能正确画出图6―9中长方体的平面展开图，问题便能迎刃而解。图6―10中的粗实线，就是题目中所要标出的线段AC、CQ、QP、PA。

例3在图6―11中，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短?

分析与解：沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，见图6―12，从M点绕圆柱体的侧面到达N点。实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N。而两点间以线段的长度最短。所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线，见图6―12和图6―13。

例4图6―14中的几何体是一棱长为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少(π=3.14)?

分析与解：因为正方体的棱长为2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打透。这一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积、这六个圆柱的高为1厘米，底面圆的半径为1厘米。

正方体的表面积为42×6=96(平方厘米)

一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28(平方厘米)

几何体的表面积为96+6.28×6=133.68(平方厘米)

答：(略)

例5图6―15是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少?

分析与解：从图6―15中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个。另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后;左、右两个面的表面积也是分别相同的。因为小正方体的棱长是1厘米，所以

上面的表面积为12×9=9(平方厘米)

前面的表面积为12×8=8(平方厘米)

左面的表面积为12×7=7(平方厘米)

几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=

答：(略)

例6图6―16中所示图形，是一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米，高20厘米的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米?(π=3.14)

分析与解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20厘米的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度。

因为圆锥形铅锤的体积为

设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为x(20÷2)2×x=100πx(立方厘米)

所以有下列方程：

60π=100πx，解此方程得：

x=0.6(厘米)

答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6厘米。

例7横截面直径为2分米的一根圆钢，截成两段后，两段表面积的和为75.36平方分米，求原来那根圆钢的体积是多少(π=3.14)?

分析与解：根据圆柱体的体积公式，体积=底面积×高。假设圆钢长为x，因为将圆钢截成两段后，两段表面积的和，等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积，所以有下面式子：

2π×(2÷2)×x+4π×(2÷2)2

=2πx+4π

根据题目中给出的已知条件，可得下面方程：

2πx+4π=75.36

解方程：

圆钢的体积为π×(2÷2)2×10≈31.4(立方分米)

答：(略)。

例8一个圆锥的侧面展开图是一个半径为10厘米、圆心角为216°的扇形，求此圆锥的体积是多少(π=3.14)?

分析与解：要想求出圆锥的体积，就要先求出它的底面圆的半径与高。按题意画图6―17。在图6―17中，字母R、h分别表示底面圆的半径和圆锥体的高，根据弧长公式：弧长=2лR×n÷360(这里R是圆的半径，n为弧所对圆心角的度数)，便可求出弧长来。这个弧长就是底面圆的周长，再利用周长公式，就可求出底面圆的半径R。另外从图6―17中可以看出：圆锥的高、母线、底面圆的半径正好构成一个直角三角形，利用勾股定理便可求出圆锥的高h。

所以 2πR=12π，得R=6(厘米)

在直角三角形中，根据勾股定理有：

102=h2+R2，即h2=102-R2

=100-36=64，h=8(厘米)

答：(略)

例9图6―18中的图形是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点。现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体体积的几分之几?

分析与解：因为锯掉的是立方体的一个角，所以HA与AG、AF都垂直。即HA垂直于三角形AGF所在的立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF为底面，H为顶点的一个三棱锥，如果我们假设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3。

三棱锥的底面是直角三角形AGF，而角FAG为90°，G、F又分别为AD、

而三棱锥的体积等于底面积与高的乘积再除以3，所以锯掉的那一角的体积为

答：(略)

例10图6―19是一个里面装有水的三棱柱封闭容器，图6―20是这个三棱柱的平面展开图。当以A面作为底面放在桌面上时，水高2厘米，如果以B面与C面分别作为底面放在桌面上时，水面高各为多少厘米?

分析与解：我们先求以A面作为底面放在桌面上时容器内的水的体积。此时水的体积，与以梯形FJQP为底面、JI为高的棱柱的体积相等。棱柱的体积等于底面积乘以高，从图6―20可以看出，此棱柱的高JI为12厘米，梯形FJQP的下底FJ为3厘米，高QJ为2厘米。因为PTJQ是个长方形，所以QJ=PT=2厘米，而Q点是GJ的中点，PQ平行于FJ，这样可以推算出QP为FJ的一半，为1.5厘米，这一来梯形FJQP的面积为

以C面为底面时，水的体积与以C(即三解形EHI)为底面，高为某数值

此时水面的高度为：

54÷6=9(厘米)

以B面作为底面时，原来以A面为底面时不装水的那一部分，现在应装水，原来装水的某一部分现在应空出来，下面来讨论这两份之间的数量关系。

为方便起见，我们把C面适当放大成图6―21，在图6―21中，因为PQ平行于FJ，PT垂直于FJ，所以JQPT是一长方图6ZI形，故JQ、PT、QG的长都是2厘米，TJ、PQ的长为1.5厘米，因为FJ长为3厘米，所以FT的长也为1.5厘米，这一来三角形FPT与PQG的形状一样，面积相等。这便说明原来以三角形PFT为底面，JI为高的装水的棱柱的体积，与现在以三角形PQG为底面，JI为高装水的棱柱的体积是相等的。所以以B面为底面时，水面的高度等于PQ的长度，即水面高为1.5厘米。

答：(略)

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