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1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。

解：设此自然数为x，依题意可得

x-45=m^2................(1)

x+44=n^2................(2)(m,n为自然数)

(2)-(1)可得　n^2-m^2=89, (n+m)(n-m)=89

但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。

2、求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。

分析：设四个连续的整数为n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n为整数。欲证

n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。

证明：设这四个整数之积加上1为m，则

m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2

而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数;又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。

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