小升初奥数数论综合常考内容讲义：

【内容概述】涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题.

1.如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?

【分析与解】 我们知道如果有5个连

续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。

所以n小于5.

第一种情况:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0;

如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9;它们的积的个位数字都是4;

所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能.

第二种情况：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个位数字为0，……，不满足.

第三种情况：当n为2时，有1×2，2×3，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足.

至于n取1显然不满足了.

所以满足条件的n是4.

2.如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d.那么，

(1)a+b的最小可能值是多少?

(2)a+b的最大可能值是多少?

【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，

67，71，73，79，83，89，97.

可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168.

所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168.

3.如果某整数同时具备如下3条性质：

①这个数与1的差是质数;

②这个数除以2所得的商也是质数;

③这个数除以9所得的余数是5.

那么我们称这个整数为幸运数.求出所有的两位幸运数.

【分析与解】 条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这5个数满足条件.

其中86与50不符合①，32与68不符合②，三个条件都符合的只有14.

所以两位幸运数只有14.

4.在555555的约数中，最大的三位数是多少?

【分析与解】555555=5×111×1001

=3×5×7×11×13×37

显然其最大的三位数约数为777.

5.从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形.按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?

【分析与解】 从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商.而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002÷847=2……308，847÷308=2……231，308÷231=1……77.231÷77=3.

不难得知，最后剪去的正方形边长为77毫米.

6.已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质.请写出所有可能的答案.

【分析与解】 设这三个数为a、b、c，且a

小于20的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18.其中只含1种因数的合数不满足，所以只剩下6，10，12，14，15，18这6个数，但是14=2×7，其中质因数7只有14含有，无法找到两个不与14互质的数.

所以只剩下6，10，12，15，18这5个数存在可能的排列.

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