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约数与倍数的奥数题例题详解

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数的整除问题练习12012-08-28 10:05 来源： 网络编辑整理 作者： 网络编辑整理

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已知x、y为正整数，且满足xy-( x+y )=2p+q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数，求所有这样的数对(x，y ) (x≥y )

考点：约数与倍数.

分析：此题需分类讨论，①当x是y的倍数时，设x=ky(k是正整数).解方程k(y-2)=3;②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp.解方程abp-1=(a-1)(b-1)即可.解答：解：①当x是y的倍数时，设x=ky(k是正整数).

则由原方程，得

ky•y-(ky+y)=2y+ky，

∵y≠0，

∴ky-(k+1)=2+k，

∴k(y-2)=3，

当k=1时，x=5，y=5;

当k=3时，x=9，y=3;

②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp，代入原式

得：abp2-(ap+bp)=2p+abp，即abp-1=(a-1)(b+1)

当p=1时，a+b=2，可求得a=1，b=1，此时不满足条件;

当p>1时，abp≥2ab-1=ab+(ab-1)≥ab>(a-1)(b-1)

此时，abp-1=(a-1)(b+1)不满足条件;

综上所述，满足条件的数对有

点评：本题主要考查的是最大公约数与最小公倍数.由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积.即(a，b)×[a，b]=a×b.所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数.

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