奥数是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度.让我们一起来阅读“奥数应用题练习及解析：周期性问题”，忘了痛苦，忘了喜悦，冲吧!

11.乘积1×2×3×4×…×1990×1991是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少?

考点：周期性问题.1923992

分析：我们用所有数的乘积除以了495个5之后得到的个位数字是6，那还要除以495个2才可以，因为他们乘到一起变成了495个0，再除以495个2就相当于把末尾的0全部去掉了，那么此时的个位数字就是要求的第一个不为0的数.

2的495次方的个位数字是8(2的n次方的个位数字是2，4，8，6四位一周期495÷4=123…3)

那么用刚才我们除以495个5之后得到的个位数字6除以8，就会得到最终的个位数字，6÷8的个位数字是2(就是2×8个位数字是6，当然7×8的个位数字也是6，但是注意了2的个数要远多于495个，所以最终的去掉495个0之后的数一定是个偶数，所以只能是2.

解答：解：此题中是1991个数字的连乘积，根据题干分析：

所有数的乘积除以了495个5之后得到的个位数字是6，那还要除以495个2才可以，因为他们乘到一起变成了495个0，再除以495个2就相当于把末尾的0全部去掉了，那么此时的个位数字就是要求的第一个不为0的数.

2的495次方的个位数字是8;

2的n次方的个位数字是2，4，8，6四位一周期，

495÷4=123…3;

那么用刚才我们除以495个5之后得到的个位数字6除以8，就会得到最终的个位数字，6÷8的个位数字是2(就是2×8个位数字是6，当然7×8的个位数字也是6，但是注意了2的个数要远多于495个，所以最终的去掉495个0之后的数一定是个偶数，所以只能是2.

点评：将原式进行分组整合讨论，根据个位数字是2、5乘积的个位数字特点进行分析，得出从右边数第一位不为0的数字规律;根据2的连乘积的末位数的出现周期解决问题，是本题的关键所在.

12.有串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的 恰好是第二个数的 ，从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991个数被3除所得的余数是几?

考点：周期性问题.1923992

分析：(1)因为第一个数5/6× =第二个数×1/4 ，所以第一个数：第二个数=1/4 ：5/6 =3：10.又两数互质，所以第一个数为3，第二个数为10，从而这串数为：

3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055…

(2)要求这串数的第1991个数被3除所得的余数是几，可以先推理出得出这串数字除以3的余数的规律是什么;由此即可解决问题.

解答：解：根据题干分析可得这串数字为：

3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055…

这串数字被3除所得的余数依次为：

0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，

所以可以看出这串数字除以3的余数按“0，1，1，2，0，2，2，1”循环，周期为8.

因为1991÷8=248…7，所以第1991个数被3除所得余数应是第249周期中的第7个数，即2.

答：这串数的第1991个数被3除所得的余数是2.

点评：解答此题应注意以下两个问题：(1)由于两个数互质，所以这两个数只能是最简整数比的两个数;

(2)求出这串数被3除所得的余数后，找出余数变化的周期，但这并不是这串数的周期.一般来说，一些有规律的数串，被某一个整数逐个去除，所得的余数也具有周期性.

13.表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为(共社)，第二组为(产会)，那么第340组是　(好，好)　.

共产党好共产党好共产党好......

社会主义好社会主义好社会主义好......

考点：周期性问题.1923992

分析：此题分成两部分来看：(1)上面一部分的周期为：四字一周期，分别为：共→产→党→好;那么第340个字在340÷4=85周期最后一个，与第一组中第四个字“好”相同;

(2)同样的方法可以得出下面的周期为：五字一周期：社→会→主→义→好，由此即可解决问题.

解答：解：根据题干分析：

(1)上面四字一周期，分别为：共→产→党→好;那么第340个字在340÷4=85周期的最后一个，与第一组中第四个字“好”相同;

(2)下面五字一周期，分别为：社→会→主→义→好，那么第340个字在340÷5=68周期最后一个数字，与第一周期的最后一个字“好”相同;

答：由上述推理可得：第340组的数字是(好，好)，

故答案为：(好，好).

点评：此题也可以这样考虑：因为“共产党好”四个字，“社会主义好”五个字，4与5的最小公倍数是20，所以在连续写完5个“共产党好”与4个“社会主义好”之后，将重复从头写起，出现周期现象，而且每个周期是20组数.

因为340÷20=17，所以第340组正好写完第17个周期，第340组是(好，好).

14.甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色.首先，甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底.然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底.最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为　75　厘米.

考点：公约数与公倍数问题.1923992

分析：根据题意甲、乙从同一端点开始涂色，甲按黑、白，黑、白交替进行;乙按白、黑，白、黑交替进行，如图所示.

由图可知，甲黑、乙白从同一端点起，到再一次甲黑、乙白同时出现，应是5与6的最小公倍数的2倍，即5×6×2=60厘米，也就是它们按60厘米为周期循环出现，据此可以轻松求解.

解答：解：按60厘米为周期循环出现，在每一个周期中没有涂色的部分是，

1+3+5+4+2=15(厘米);

所以，在3米的木棍上没有涂黑色的部分长度总和是，

15×(300÷60)=75(厘米).

故答案为：75.

点评：此题主要考查最小公倍数问题，注意这里的周期是5与6最小公倍数的2倍，而不是5与6的最小公倍数.

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