一、植树问题

1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:

⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:

株数=段数+1=全长÷株距-1

全长=株距×(株数-1)

株距=全长÷(株数-1)

⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:

株数=段数=全长÷株距

全长=株距×株数

株距=全长÷株数

⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:

株数=段数-1=全长÷株距-1

全长=株距×(株数+1)

株距=全长÷(株数+1)

2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下

株数=段数=全长÷株距

全长=株距×株数

株距=全长÷株数

二、置换问题：

题中有二个未知数，常常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算。其结果往往与条件不符合，再加以适当的调整，从而求出结果。

例：一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张?

分析：先假定买来的100张邮票全部是20分一张的，那么总值应是20×100=2000(分)，比原来的总值多2000-1880=120(分)。而这个多的120分，是把10分一张的看作是20分一张的，每张多算20-10=10(分)，如此可以求出10分一张的有多少张。

列式：(2000-1880)÷(20-10) =120÷10 =12(张)→10分一张的张数

100-12=88(张)→20分一张的张数或是先求出20分一张的张数，再求出10分一张的张数，方法同上，注意总值比原来的总值少。

三、盈亏问题(盈不足问题)：

题目中往往有两种分配方案，每种分配方案的结果会出现多(盈)或少(亏)的情况，通常把这类问题，叫做盈亏问题(也叫做盈不足问题)。解答这类问题时，应该先将两种分配方案进行比较，求出由于每份数的变化所引起的余数的变化，从中求出参加分配的总份数，然后根据题意，求出被分配物品的数量。其计算方法是：

当一次有余数，另一次不足时： 每份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差

当两次都有余数时： 总份数=(较大余数-较小数)÷两次每份数的差

当两次都不足时： 总份数=(较大不足数-较小不足数)÷两次每份数的差

例1、解放军某部的一个班，参加植树造林活动。如果每人栽5棵树苗，还剩下14棵树苗;如果每人栽7棵，就差4棵树苗。求这个班有多少人?一共有多少棵树苗

分析：由条件可知，这道题属第一种情况。 列式：(14+4)÷(7-5) =18÷2 = 9(人)

5×9+14 =45+14 =59(棵) 或：7×9-4 =63-4 =59(棵)

答：这个班有9人，一共有树苗59棵。

例2、学校把一些彩色铅笔分给美术组的同学，如果每人分给五枝，则剩下45枝，如果每人分给7枝，则剩下3枝。求美术组有多少同学?彩色铅笔共有几枝?

(45—3)÷(7-5)=21(人) 21×5+45=150(枝)答：略。

四、年龄问题：

年龄问题的主要特点是两人的年龄差不变，而倍数差却发生变化。

常用的计算公式是：

成倍时小的年龄=大小年龄之差÷(倍数-1)

几年前的年龄=小的现年-成倍数时小的年龄

几年后的年龄=成倍时小的年龄-小的现在年龄

例父亲今年54岁，儿子今年12岁。几年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍?

(54-12)÷(4-1) =42÷3 =14(岁)→儿子几年后的年龄

14-12=2(年)→2年后

答：2年后父亲的年龄是儿子的4倍。

例2、父亲今年的年龄是54岁，儿子今年有12岁。几年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍?

(54-12)÷(7-1) =42÷6=7(岁)→儿子几年前的年龄

12-7=5(年)→5年前

答：5年前父亲的年龄是儿子的7倍。

例3、王刚父母今年的年龄和是148岁，父亲年龄的3倍与母亲年龄的差比年龄和多4岁。王刚父母亲今年的年龄各是多少岁?

(148×2+4)÷(3+1) =300÷4 =75(岁)→父亲的年龄

148-75=73(岁)→母亲的年龄

答：王刚的父亲今年75岁，母亲今年73岁。

或：(148+2)÷2 =150÷2 =75(岁) 75-2=73(岁)

五、鸡兔同笼问题：

已知鸡兔的总只数和总足数，求鸡兔各有多少只的一类应用题，叫做鸡兔问题，也叫“龟鹤问题”、“置换问题”。

一般先假设都是鸡(或兔)，然后以兔(或鸡)置换鸡(或兔)。常用的基本公式有：

(总足数-鸡足数×总只数)÷每只鸡兔足数的差=兔数

(兔足数×总只数-总足数)÷每只鸡兔足数的差=鸡数

例：鸡兔同笼共有24只。有64条腿。求笼中的鸡和兔各有多少只?

(64-2×24)÷(4-2) =(64-48)÷(4-2)=16 ÷2 =8(只)→兔的只数

24-8=16(只)→鸡的只数

答：笼中的兔有8只，鸡有16只。

六、牛吃草问题(船漏水问题)：

若干头牛在一片有限范围内的草地上吃草。牛一边吃草，草地上一边长草。当增加(或减少)牛的数量时，这片草地上的草经过多少时间就刚好吃完呢?

例1、一片草地，可供15头牛吃10天，而供25头牛吃，可吃5天。如果青草每天生长速度一样，那么这片草地若供10头牛吃，可以吃几天?

分析：一般把1头牛每天的吃草量看作每份数，那么15头牛吃10天，其中就有草地上原有的草，加上这片草地10天长出草，以下类推……其中可以发现25头牛5天的吃草量比15头牛10天的吃草量要少。原因是因为其一，用的时间少;其二，对应的长出来的草也少。这个差就是这片草地5天长出来的草。每天长出来的草可供5头牛吃一天。如此当供10牛吃时，拿出5头牛专门吃每天长出来的草，余下的牛吃草地上原有的草。

(15×10-25×5)÷(10-5)=(150-125)÷(10-5) =25÷5 =5(头)→可供5头牛吃一天。

150-10×5 =150-50 =100(头)→草地上原有的草可供100头牛吃一天

100÷(10-5) =100÷5 =20(天)

答：若供10头牛吃，可以吃20天。

例2、一口井匀速往上涌水，用4部抽水机100分钟可以抽干;若用6部同样的抽水机则50分钟可以抽干。现在用7部同样的抽水机，多少分钟可以抽干这口井里的水?

(100×4-50×6)÷(100-50)=(400-300)÷(100-50)=100÷50 =2

400-100×2 =400-200=200

200÷(7-2)=200÷5 =40(分)

答：用7部同样的抽水机，40分钟可以抽干这口井里的水。

七、相遇问题

相遇路程=速度和×相遇时间

相遇时间=相遇路程÷速度和

速度和=相遇路程÷相遇时间