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数学广角

一、研究中国古代的鸡兔同笼问题。

1、 用表格方式解决有局限性，数目必须小，例：

头数 鸡(只)兔(只) 腿数

35 1 34

35 2 33

35 3 32

……

(逐一列表法、腿数少，小幅度跳跃;腿数多，大幅度跳跃。跳跃逐一相结合、取中列表)

2、 用假设法解决

(1) 假如都是兔

(2) 假如都是鸡

(3) 假如它们各抬起一条腿

(4) 假如兔子抬起两条前腿

3、 用代数方法解(一般规律)

注释：这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何?这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头;从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔?

二、和尚分馒头

100个和尚吃100个馒头，大和尚一人吃3个，小和尚三人吃一个。大小和尚各多少人?

国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：

一百馒头一百僧，

大僧三个更无争，

小僧三人分一个，

大小和尚各几丁?"

如果译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头，正好分完。如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大、小和尚各有几人?

方法一，用方程解：

解：设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，根据题意列得方程：

3x +1/3(100-x)=100

x=25

100-25=75人

方法二，鸡兔同笼法：

(1)假设100人全是大和尚，应吃馒头多少个?

3×100=300(个).

(2)这样多吃了几个呢?

300-100=200(个).

(3)为什么多吃了200个呢?这是因为把小和尚当成大和尚。那么把小和尚当成大和尚时，每个小和尚多算了几个馒头?

3-1/3=8/3(个)

(4)每个小和尚多算了8/3个馒头，一共多算了200个，所以小和尚有：

小和尚：200÷8/3=75(人)

大和尚：100-75=25(人)

方法三，分组法：

由于大和尚一人分3只馒头，小和尚3人分一只馒头。我们可以把3个小和尚与1个大和尚编为一组，这样每组4个和尚刚好分4个馒头，那么100个和尚总共分为100÷(3+1)=25组，因为每组有1个大和尚，所以有25个大和尚;又因为每组有3个小和尚，所以有25×3=75个小和尚。

这是《直指算法统宗》里的解法，原话是："置僧一百为实，以三一并得四为法除之，得大僧二十五个。"所谓"实"便是"被除数"，"法"便是"除数"。列式就是：

100÷(3+1)=25(组)

大和尚：25×1=25(人)

小和尚：100-25=75(人)或25×3=75(人)

我国古代劳动人民的智慧由此可见一斑。

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