第一讲 乘除法数字谜(一)

专题简析：

解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：

1.认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断;

2.利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字;

3.试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的;

4.算式谜解出后，要验算一遍。

例1.在下面的方框中填上合适的数字。

分析：由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5;由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第一人个因数的百位是3;由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填了。

练习一

第二讲 乘除法数字谜(二)

例1.下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字?

分析：因为四位数abcd乘9的积是四位数，可知a是1;d和9相乘的积的个位是1，可知d只能是9;因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位，所以b只能是0(1已经用过);再由b=0，可推知c=8。

练习二

第三讲 图形的个数

例1.下面图形中有多少个正方形?

分析：图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有6×3=18个，2×2的正方形有5×2=10个，3×3的正方形有4×1=4个。因此图中共有18+10+4=32个正方形。

例2.下图中共有多少个三角形?

分析：为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。

(1)图中共有6个小三角形;

(2)由两个小三角形组合的三角形有3个;

(3)由三个小三角形组合的三角形有4个;

(4)由六个小三角形组合的三角形有1个。

所以共有6+3+4+1=14个三角形。

练习三

1.下图中共有多少个正方形?

2.下图中共有多少个正方形?

3.下图中共有多少个正方形，多少个三角形?

4.下面图中共有多少个三角形?

第四讲 找出数字的排列规律(一)

找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法，在解数学题时人们也常常使用它，下面我们利用找规律的方法来解一些简单的数列问题。

(一)思路指导

例1.在下面数列的( )中填上适当的数。

1，2，5，10，17，( )，( )，50

分析与解：这个数列从第二项起，每一项都等于它的前一项依次分别加上单数1，3，5，7，9……，这样我们就可以由第五项算出括号内的数了，即：第一个括号里应填;第2个括号里应填。

例2.自1开始，每隔两个整数写出一个整数，这样得到一个数列：1，4，7，10……问：第100个数是多少?

分析与解：第1项是1，第二项比第一项多3，第三项比第一项多2个3，第四项比第一项多3个3，……依次类推，第100项就比第一项多99个3，所以第100个数是。

由此我们可以得出这样的规律：等差数列的任一项都等于：第一项+(这项的项数-1)×公差

我们把这个公式叫做等差数列的通项公式。利用通项公式可以求出等差数列的任一项。

练习四

1.找规律填数：

(1)1，3，7，15，______;

(2)l，4，13，40，121，____，____。

2.按规律找出下面两列数里□中应填写的数：

(1)2，6，18，54，□，486，1458;

(2)l，4，9，16，□，36，49

3.看规律填数：

(l)0，3，7，12，______，25，33;

(2)l，2，5，10，17，____，______，50。

4. 按规律填数：

(l)2，4，7，11，16，

(2)3，5，9，17，33，65，

5.按每组数的排列规律，填写最后一个数：

(1)2，4，16，256，______;

(2)12，19，33，61，117，______。

6.数列5，8，11，14，17，…的第25项是______，第100项是____。

第五讲 找出数的排列规律(二)

例3.已知一列数：2，5，8，11，14，……，44，……，问：44是这列数中的第几个数?

分析与解：显然这是一个等差数列，首项(第一项)是2，公差是3。我们观察数列中每一个数的项数与首项2，公差3之间有什么关系?

以首项2为标准，第二项比2多1个3，第三项比首项多2个3，第四项比首项多3个3，……，44比首项2多42，多14个3，所以44应排在这个数列中的第15个数。

由此可得，在等差数列中，每一项的项数都等于：

(这一项-首项)÷公差+1

这个公式叫做等差数列的项数公式，利用它可以求出等差数列中任意一项的项数。

试试看：数列7，11，15，……195，共有多少个数?

练习五

1.按规律填数：

(1)3，5，9，17，______，65。

(2)1，2，4，7，______，16。

2.数列2，9，16，23，30，…，135，…中的135是这列数的第____个数。

3.数列2，4，8，…的第10项是______。

4.数列7，11，15，19，23，…，119，共有______个数。

5.下面一组数是按某种规律排列的，请你仔细观察，找出规律并在横线上填写适当的数：

2，97，1，4，98，3，6，99，5，____，____，7，10，101，____，12，102，11，…。

第六讲 数列求和(一)

专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

通项公式：第n项=首项+(项数-1)×公差

项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1

例1.有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项?

分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=(52-4)÷6+1=9，即这个数列共有9项。

例2.有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少?

分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×(项数-1)”进行计算。

第100项=3+4×(100-1)=399

练习六

1.等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项?

2.有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项?

3.已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项?

4.一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少?

5.求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

第七讲 数列求和(二)

例3.有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。

分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(99+2)+(100+1)，其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。1+2+3+…+99+100=(1+100)×100÷2=5050

上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=(首项+末项)×项数÷2

这个公式也叫做等差数列求和公式。

例4.求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

分析与解答：这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。

要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：

项数=(末项-首项)÷公差+1=(50-2)÷2+1=25

首项=2，末项=50，项数=25

等差数列的和=(2+50)×25÷2=650

练习七

计算下面各题。

1.1+2+3+…+49+50

2.6+7+8+…+74+75

3.100+99+98+…+61+60

4.2+6+10+14+18+22

5.5+10+15+20+…+195+200

6.9+18+27+36+…+261+270

第八讲 数列求和(三)

例5.计算(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)

分析与解答：容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。

进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1～100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。

(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)

=(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+(100-99)

=1+1+1+…+1

=50

练习八

计算下面各题

1.(2001+1999+1997+1995)-(2000+1998+1996+1994)

2.(2+4+6+…+2000)-(1+3+5+…+1999)

3.(2+4+6+…+1998)-(1+3+5+…+1997)

4.(1+3+5+…+999)-(2+4+6+…+998)

5.(1+3+5+…+1999)-(2+4+6+…+1998)

第九讲 数阵图(一)

专题简析：填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。待定数法就是先用字母(或符号)表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母(或符号)应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。

例1.把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A+B+C+D+E=35，A+E+B+C+E+D=21×2=42。

把两式相比较可知，E=42-35=7，即中间填7。然后再根据5+9=6+8便可把五个数填进方格，如图b。

练习九

1.把1～10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。

2.把1～9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。

3.将1～7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

第十讲 数阵图(二)

例2.将1～10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

分析：设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1+2+3+……+10+a+b=30×2，即55+a+b=60，a+b=5。在1～10这十个数中1+4=5，2+3=5。

当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是(2，6，8，9)和(3，5，7，10);当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为(1，5，9，10)和(4，6，7，8)。

例3.将1～6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。

分析：设中间三个圆内的数是a、b、c。因为计算三条线上的和时，a、b、c都被计算了两次，根据题意可知：1+2+3+4+5+6+(a+b+c)除以3没有余数。1+2+3+4+5+6=21，21÷3=7没有余数，那么a+b+c的和除以3也应该没有余数。在1～6六个数中，只有4+5+6的和最大，且除以3没有余数，因此a、b、c分别为4、5、6。

练习十

1.把1～8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。

2.把1～10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。

3.将1～6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。

4.将1～9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17。

第十一讲 合理安排

专题简析：我们每天的生活、学习都离不开时间，但是你知道时间有大学问吗?合理地安排时间，往往会达到事半功倍的效果。科学地安排时间的方法，就叫做最佳安排。小朋友在进行最佳安排时，要考虑以下几个问题：(1)要做哪几件事：(2)做每件事需要的时间;(3)要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同时做。在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥出更大的效率。

例1.明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶1分钟，烧开水12分钟，把水灌入水瓶要2分钟，吃早点要8分钟，整理书包2分钟。应该怎样安排时间最少?最少要几分钟?

思路导航：经验表明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间。水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行;而吃早点和整理书包可以和烧开水同时进行。这一过程可用方框图表示：

从图上可以看出，洗水壶要1分钟，接着烧开水要12分钟，在等水开的同时吃早点、整理书包，水开了就灌入水瓶，共需15分钟。

练习十一

1.红红早晨起来刷牙洗脸要4分钟，读书要8分钟，烧开水要10分钟，冲牛奶1分钟，吃早饭5分钟。红红应怎样合理安排?起床多少分钟就能上学了?

2.玲玲想给客人烧水沏茶。洗水壶要2分钟，烧开水要12分钟，买茶叶5分钟，洗茶杯要1分钟，冲茶要1分钟。要让客人尽早喝上茶，你认为最合理的安排需要多少分钟客人就能喝上茶了?

3.用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼。烙第一面需要2分钟，烙第二面需要1分钟。现在在烙三个饼，最少需要多少分钟?

4.烤面包的架子上一次最多只能放两个面包，烤一个面包每面需要2分钟，那么烤三个面包最少需要多少分钟?

第十二讲 最大与最小

专题简析：在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。

解答最大最小问题通常要用下面的方法：

1.枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较;2.着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。

例1.把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少?

分析：为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出：中心处D中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填最小的数1。而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次，所以要尽可能填大数，即填11——16。然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值了。(2+3+4+…+16+11+12+13+14+15+16)÷3=72

练习十二

1.将1、2、3、4、5、6六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少?

2.将5、6、7、8、9、10六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少?

3.把～8分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。

4.把2～9分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。

第十三讲 长方形面积(一)

专题简析：

我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。

在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。

例1.把一张长为4米，宽为3米的长方形木板，剪成一个面积最大的正方形。这个正方形木板的面积是多少平方米?

思路导航：要使剪成的正方形面积最大，就要使它的边长最长(如图)，那么只能选原来的长方形宽为边长，即正方形的边长是3米。正方形的面积：3×3=9米。

例2.学校里有一个正方形花坛，四周种了一圈绿篱，绿篱总长20米。花坛的面积是多少平方米?

思路导航：要求正方形花坛的面积，必须知道花坛的边长是多少。根据绿篱总长是20米，可求出花坛的边长为20÷4=5米，所以花坛的面积是：5×5=25平方米。

练习十三

1.把一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸剪成一个面积最大的正方形，这张正方形纸的面积是多少平方厘米?

2.把一块长2米、宽6分米的长方形铁板切割成一个面积最大的正方形，这个正方形铁板的面积是多少?

3.将一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸片剪成一个面积最大的正方形，那么剪下的另一个小长方形的面积是多少?

4.一个正方形的周长为36厘米，那么这个正方形的面积是多少平方厘米?

第十四讲 长方形面积(二)

例3.求下面图形的面积。(单位：厘米)

思路导航：这个图形无法直接求出它的面积，我们可以画一条辅助线，将这个图形分割成两个长方形。如下图：

从图上可以看出，左边长方形的长为4厘米，宽为2厘米，面积为4×2=8平方厘米;右边长方形的长为3厘米，宽为1厘米，面积为3×1=3平方厘米。

所以，这个图形的面积为：8+3=11平方厘米。

想一想：这道题还可以怎样画辅助线，分割后求面积呢?

练习十四

1.运动场有一个正方形的游泳池，在游泳池四周粘上瓷砖，瓷砖总长400米，求游泳池的面积是多少平方米。

2.在公园里有两个花圃，它们的周长相等。其中长方形花圃长40米，宽20米，求另一个正方形花圃的面积。

3.计算下面图形的面积。(单位：厘米)