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2012年福建省三明中考数学解答题六

23．（2012福建三明，23，14分）

在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．

（1）当点P与点C重合时（如图①），求证：△BOG≌△POE；（4分）

（2）通过观察、测量、猜想： ，并结合图②证明你的猜想；（5分）

（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB＝α，求的值．

（用含α的式子表示）（5分）

【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，

∴OB＝OP，∠BOC＝∠BOG＝90°．

∵PF⊥BG，∠PFB＝90°．

∴∠GBO＝90°－∠BGO，∠EPO＝90°－∠BGO，

∴∠GBO＝∠EPO

∴△BOG≌△POE

(2)

证明：∵如图②，过P作PM∥AC交BG于M， 交BO于N，

∴∠PNE＝∠BOC＝90°．∠BPN＝∠OCB．

∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠NBP＝∠PNB．

∴NB＝NP

∵∠MBN＝90°－∠BMN，∠NPE＝90°－∠BMN，

∴∠MBN＝∠NPE

∴△BMN ≌△PEN

∴BM＝PE

∵∠BPE＝∠ACB，∠BPN＝∠ACB

∴∠BPF＝∠MPF．

∵PF⊥BM ∴∠BFP＝∠MFP＝90°．

又∵PF＝PF

∴△BPF ≌△MPF

∴BF＝MF．即BF＝BM．

∴BF＝ PE．即

(3)如图③，过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N

∴∠BPN＝∠ACB＝α，∠PNE＝∠BOC＝90°．

由（2）同理可得BF＝BM，∠MBN＝∠EPN．

∵∠BNM＝∠PNE＝90°．

∴△BMN ∽△PEN

∴

在Rt△BNP中，tanα＝，

∴＝tanα．即＝tanα．

∴＝tanα．

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