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福建三明市2011中考数学解答题解析六

22、（2011?福建）如图，抛物线y=ax2﹣4ax+c（a≠0）经过A（0，﹣1），B（5，0）两点，点P是抛物线上的一个动点，且位于直线AB的下方（不与A，B重合），过点P作直线PQ⊥x轴，交AB于点Q，设点P的横坐标为m．

（1）求a，c的值；

（2）设PQ的长为S，求S与m的函数关系式，写出m的取值范围；

（3）以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l有哪些位置关系？并写出对应的m取值范围．（不必写过程）

考点：二次函数综合题。

分析：（1）利用待定系数法把点A、B的坐标代入抛物线表达式解二元一次方程组即可；

（2）先求出直线AB的解析式，然后分别求出点P与点Q的坐标，则PQ的长度S就等于点Q的纵坐标减去点P的纵坐标，然后整理即可；

（3）根据直线与圆的位置关系有相离、相切与相交共三种情况，又点P可以在对称轴左边也可以在对称轴右边，进行讨论列式求解即可．

解答：解：∵抛物线y=ax2﹣4ax+c过A（0，﹣1），B（5，0）

∴，

解得：，

故ac的值分别为，﹣1，

抛物线的解析式是y=x2﹣x﹣1；

（2）∵直线AB经过A（0，﹣1），B（5，0），

∴直线AB的解析式为y=x﹣1，

由（1）知抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣1，

∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，点Q在直线AB上，PQ⊥x轴，

∴P（m，m2﹣m﹣1），Q（m，m﹣1），

∴S=PQ=（m﹣1）﹣（m2﹣m﹣1），

即S=﹣m2+m（0＜m＜5）；

（3）抛物线的对称轴l为：x=2，

以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l的位置关系有：

相离、相切、相交三种关系

相离时：|m﹣2|＞（﹣m2+m），

解得0＜m＜或＜m＜5；

相切时：|m﹣2|=（﹣m2+m），

解得m=或 m=；

相交时：|m﹣2|＜（﹣m2+m），

解得＜m＜．

点评：本题考查了待定系数法，直线与二次函数相交的问题，直线与圆的位置关系，综合性较强，对同学们的能力要求较高，（3）中要注意分点P有在对称轴左边与右边的两种情况，容易漏解而导致出错．

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