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期中检测题

(本检测题满分：120分，时间：120分钟)

一、选择题(每小题2分，共24分)

1.(2013•兰州中考)二次函数 的图象的顶点坐标是(    )

A.(1，3)  B.( 1，3)  C.(1， 3)  D.( 1， 3)

2.(2013•哈尔滨中考)把抛物线 向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是(    )

A.   B.   C.   D.

3.(2013•吉林中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为  ,则下列结论正确的是(    )

A.    B. <0, >0

C. <0, <0   D. >0, <0

4. (2013•河南中考)在二次函数 的图象上，若 随 的增大而增大，则 的取值范围是(    )

A. 1    B. 1        C. -1    D. -1

5. 已知二次函数 的图象如图所示，给出以下结论：

① ;② ;③ ;④ ;⑤ .其中正确结论的个数是(    )

A.2          B.3             C.4             D. 5

6.在同一平面直角坐标系中，函数 和函数 ( 是常数，且 )的图象可能是(    )

7.(2014•天津中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，有下列结论：①b2-4ac>0;②abc<0;③m>2.其中，正确结论的个数是(  )

A.0          B.1         C.2          D.3

8.(2014•苏州中考)二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则代数式

1-a-b的值为(   )

A.-3       B.-1    C.2   D.5

9.(2014•兰州中考)抛物线y= 的对称轴是(  )

A.y轴       B.直线x=-1        C.直线x=1       D.直线x=-3

10.(2014•兰州中考)把抛物线y= 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为(  )

A.             B.

C.             D.

11.抛物线 的部分图象如图所示，若 ，则 的取值范围是(     )

A.                   B.

C. 或                D. 或

12.(2014•兰州中考)二次函数y= (a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x=1.下列结论中错误的是(   )

A.abc<0        B.2a+b=0      C.b2-4ac>0     D.a-b+c>0

二、填空题(每小题3分，共18分)

13.已知二次函数 的图象顶点在 轴上，则           .

14.二次函数 的最小值是____________.

15.(2014•南京中考)已知二次函数 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

x ... -1 0  1 2 3 ...

y ... 10 5 2 1 2 ...

则当 时，x的取值范围是_____.

16.(2014•天津中考)抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是      .

17. (2014•广州中考) 若关于 的方程 有两个实数根 ，则 的最小值为      .

18.(2013• 成都中考)在平面直角坐标系 中，直线 为任意常数)与抛物线  交于 两点，且 点在 轴左侧， 点的坐标为(0,-4)，连接 , .有以下说法：

① ;②当 时， 的值随 的增大而增大;

③当 - 时， ;④△ 面积的最小值为4 ，其中正确的是          .(写出所有正确说法的序号)

三、解答题(共78分)

19.(8分)已知抛物线的顶点坐标为 ，且经过点 ，求此二次函数的解析式.

20.(8分)已知二次函数 .

(1)求函数图象的顶点坐标及对称轴.

(2)求此抛物线与 轴的交点坐标.

21.(8分)已知抛物线 的部分图象如图所示.

(1)求 的值;

(2)分别求出抛物线的对称轴和 的最大值;

(3)写出当 时， 的取值范围.

22.(8分)(2014•南京中考)已知二次函数 (m是常数).

(1)求证：不论 为何值，该函数的图象与 轴没有公共点;

(2)把该函数的图象沿 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与 轴只有一个公共点?

23.(10分)某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元.市场调查发现，在一段时间内，

销售量 (千克)随销售单价 (元/千克)的变化而变化，具体关系式为 ，且物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为 (元)，解答下列问题：

(1)求 与 的关系式.

(2)当 取何值时， 的值最大?

(3)如果公司想要在这段时间内获得 元的销售利润，销售单价应定为多少元?

24.(10分)抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ,已知 抛物线的对称轴为 ， , .

⑴求二次函数 的解析式;

⑵在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使点 到 ， 两点距离之差最大?若存在，求出 点坐标;若不存在，请说明理由;

⑶平行于 轴的一条直线交抛物线于 两点，若以 为直径的圆恰好与 轴相切，求此圆的半径.

25.(12分)(2014•苏州中考)如图，二次函数y=a(x2-2mx-3m2)(其中a，m是常数

且a>0，m>0的图象与x轴分别交于点A，B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于

点C(0，- 3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD.过点A作射线AE

交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE.

(1)用含m的代数式表示a;

(2)求证： 为定值;

(3)设该二次函数图象的顶点为F.探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在，请说明理由.

第25题图

26.(14分)(2013•哈尔滨中考)某水渠的横截面呈抛物线形， 水面的宽为 (单位：米)，现以 所在直线为 轴，以抛物线的对称轴为 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为 .已知 米，设抛物线解析式为 .

(1)求 的值;

(2)点 是抛物线上一点，点 关于原点 的对称点为点 ，连接 ，求△ 的面积.

期中检测题参考答案

1.A  解析：因为 的图象的顶点坐标为 ,

所以 的图象的顶点坐标为(1，3).

2.D   解析：把抛物线 向下平移2个单位，

所得到的抛物线是 ，再向右平移1个单位，

所得到的抛物线是 .

点拨：抛物线的平移规律是左加右减，上加下减.

3.A  解析：∵ 图中抛物线所表示的函数解析式为 ,

∴ 这条抛物线的顶点坐标为 .

观察函数的图象发现它的顶点在第一象限，

∴  .

4.A  解析：把 配方，得 .

∵ -1 0,∴ 二次函数图象的开口向下.又图象的对称轴是直线 ,

∴ 当 1时， 随 的增大而增大.

5.B  解析 :对于二次函数 ，由图象知：当 时， ，所以①正确;

由图象可以看出抛物线与 轴有两个交点，所以 ，所以②正确;

因为图象开口向下，对称轴是直线 ，

所以 ，所以 ，所以③错误;

当 时， ，所 以④错误;

由图象知 ，所以 ，所以⑤正确，

故正确结论的个数为3.

6.D  解析:选项A中，直线的斜率 ，而抛物线开口朝下，则 ，得 ，前后矛盾，故排除A选项;选项C中，直线的斜率 ，而抛物线开口朝上，则 ，得 ，前后矛盾，故排除C选项;B、D两选项的不同处在于，抛物线顶点的横坐标一正一负.两选项中，直线斜率 ，则抛物线顶点的横坐标  ，故抛物线的顶点应该在 轴左边，故选项D正确.

7.D  解析: ∵ 抛物 线与 轴有两个交点，∴ 方程 有两个不相等的实数根，

∴  ，①正确.∵抛物线的开口向下，∴  .又∵抛物线的对称轴是直线 ， ，∴ .∵ 抛物线与 轴交于正半轴，∴ ，∴ ，②正确.方程 的根是抛物线 与直线 交点的横坐标，当 时，抛物线 与直线 没有交点，此时方程 没有实数根，③正确，∴ 正确的结论有3个.

8.B  解析：把点(1,1)代入 ,得

9.C  解析:由二次函数的表达式可知，抛物线的顶点坐标为(1,-3)，所以抛物线的对称轴是直线x=1.

10.C  解析：抛物线y= 向右平移1个单位长度后，所得函数的表达式为 ，抛物线 向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为 .

11.B  解析：∵ 抛物线的对称轴为 ，而抛物线与 轴的一个交点的横坐标为1，

∴ 抛物线与 轴的另一个交点的横坐标为 ，

根据图象知道若 ，则 ，故选B.

12.D  解析：∵二次函数的图象的开口向下，∴ a<0.

∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半 轴上，∴ c>0.

∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴ ，∴ b>0，

∴ ，∴选项A正确.

∵ ，∴ ，即 ，∴选项B正确.

∵二次函数的图象与x轴有2个交点，∴方程 有两个不相等的实数根，∴ b2-4ac>0，∴选项C正确.

∵当 时，y=a-b+c<0，∴选项D错误.

13.2  解析：根据题意，得 ，将 ， ， 代入，得 ，解得 .

14.3  解析:当 时， 取得最小值3.

15. 0

∵ x=1和x=3时的函数值都是2，

∴ 二次函数图象的对称轴为直线x=2.由表可知，当x=0时，y=5，

∴ 当x=4时，y=5.由表格中数据可知，当x=2时，函数有最小值1,

∴ a>0，∴ 当y<5时，x的取值范围是0

16.(1，2)  解析：抛物线 的顶点坐标是 .把抛物线解析式 化为顶点式得 ，所以它的顶点坐标是(1，2).

17.    解析：由根与系数的关系得到：

，

∴ =

.

∵方程有两个实数根，

∴Δ ，解得 .

∴ 的最小值为 符合题意.

18. ③④  解析：本题综合考查了二次函数与方程和方程组的综合应用.

设点A的坐标为( , ),点B的坐标为( ).

不妨设 ,解方程组 得 ∴  .

此时 , ,∴  .而 =16,∴  ≠ ,

∴ 结论①错误.

当 = 时，求出A(-1,- ),B(6,10),

此时 ( )(2 )=16.

由① 时， ( )( )=16.

比较两个结果发现 的值相等.∴ 结论②错误.

当 - 时，解方程组 得出A(-2 ，2),B( ，-1),

求出 12, 2, 6,∴  ,即结论③正确.

把方程组 消去y得方程 ,∴  , .

∵  = •| | OP•| |= ×4×| |

=2 =2 ,

∴ 当 时， 有最小值4 ，即结论④正确.

19.分析:因为抛物线的顶点坐标为 ，所以设此二次函数的解析式为 ，把点(2，3)代入解析式即可解答.

解：已知抛物线的顶点坐标为 ，

所以设此二次函数的解析式为 ，

把点(2，3)代入解析式，得 ，即 ，

所以此函数的解析式为 .

20.分析：(1)首先把已知函数解析式配方，然后利用抛物线的顶点坐标、对称轴的公式即可求解;(2)根据抛物线与 轴交点坐标的特点和函数解析式即可求解.

解：(1)∵  ，

∴ 顶点坐标为(1，8)，对称轴为直线 .  (2)令 ，则 ，解得 ， .

∴ 抛物线与 轴的交点坐标为( )，( ).

21.解：(1)由图象知此二次函数过点(1，0)，(0，3)，

将点的坐标代入函数解析式，得

解得  (2)由(1)得函数解析式为 ，

即为 ，

所以抛物线的对称轴为 的最大值为4.

(3)当 时，由 ，解得 ，

即函数图象与 轴的交点坐标为( )，(1，0).

所以当 时， 的取值范围为 .

22.(1)证法一：因为(–2m)2–4(m2+3)= –12<0，

所以方程x2–2mx+m2+3=0没有实数根，

所以不论 为何值，函数 的图象与x轴没有公共点.

证法二：因为 ，所以该函数的图象开口向上.

又因为 ，

所以该函数的图象在 轴的上方.

所以不论 为何值，该函数的图象与 轴没有公共点.

(2)解： ，

把函数 的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数 的图象，它的顶点坐标是(m，0)，

因此，这个函数的图象与 轴只有一个公共点.

所以把函数 的图象沿 轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与 轴只有一个公共点.

23.分析：(1)因为 ，

故 与 的关系式为 .

(2)用配方法化简函数式，从而可得 的值最大时所对应的

(3)令  ，求出 的值即可.

解：(1) ，

∴  与 的关系式为 .

(2) ，

∴ 当 时， 的值最大.

(3)当 时，可得方程 .

解这个方程，得 .

根据题意， 不合题意，应舍去.

∴ 当销售单价为75元时，可获得销售利润2 250元.

24.解：(1)将 代入 ，得 .

将 ， 代入 ，得  .

∵ 是对称轴，∴ .

由此可得 ， .∴二次函数的解析式是 .

(2) 与对称轴的交点 即为到 两点距离之差最大的点.

∵  点的坐标为 ， 点的坐标为 ，

∴ 直线 的解析式是 .又对称轴为 ，∴ 点 的坐标为 .

(3)设 、 ，所求圆的半径为 ，则  .

∵ 对称轴为 ，∴  .∴  .

将 代入解析式 ，得 ，

整理得 .

由于 ，当 时， ，解得 ， (舍去);当 时， ，解得 ， (舍去).

∴ 圆的半径是 或

25.(1)解：将C(0，-3)代入二次函数y=a(x2-2mx-3m2)，

则-3=a(0-0-3m2)，

解得 a= .

(2)证明：如图，

过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.

由a(x2-2mx-3m2)=0，

解得 x1=-m，x2=3m，

∴ A(-m，0)，B(3m，0).

∵ CD∥AB，

∴ 点D的坐标为(2m，-3).

∵ AB平分∠DAE，

∴∠DAM=∠EAN.

∵ ∠DMA=∠ENA=90°，

∴ △ADM∽△AEN.

∴ .

设点E的坐标为  ，                      第25题答图

∴ = ，

∴ x=4m，∴ E(4m，5).

∵ AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，

∴  ，即为定值.

(3)解：如图所示，

记二次函数图象的顶点为点F，则点F的坐标为(m，-4)，

过点F作FH⊥x轴 于点H.

连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G.

∵ tan∠CGO= ，tan∠FGH= ，∴ = ，

∴ OG=3m.

此时，GF= = =4 ，

AD= = =3 ，∴ = .

由(2)得 = ，∴ AD︰GF︰AE=3︰4︰5，

∴ 以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G 的横坐标为 3m.

26.分析：(1)求出点A或点B的坐标，将其代入 ， 即可求出a的值;

(2)把点 代入(1)中所求的抛物线的解析式中，求出点C的坐标，再根据点C和点D关于原点O对称，求出点D的坐标，然后利用 求△BCD的面积.

解：(1)∵  ,由抛物线的对称性可知 ,

∴  (4,0).∴ 0=16a-4.

∴ a .

(2)如图所示，过点C作 于点E，过点D作 于点F.

∵ a= ,∴  -4.当 -1时，m= × -4=- ,∴ C(-1,- ).

∵ 点C关于原点O的对称点为点D，∴ D(1, ).∴  .

∴  ×4× + ×4× =15.

∴ △BCD的面积为15平方米.

点拨：在直角坐标系中求图形的面积，常利用“割补法”将其转化为有一边在坐标轴上的图形面积的和或差求解.

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