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1. (2014•山东烟台，第7题3分)如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯形中位线EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为(　　)

A. 1.5 B. 3 C. 3.5 D. 4.5

考点：等腰梯形的性质，直角三角形中30°锐角的性质，梯形及三角形的中位线.

分析： 根据等腰梯形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，∠ABD与∠ADB的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠ABD与∠ADB的关系，根据直角三角形的性质，可得BC的长，再根据三角形的中位线，可得答案.

解答：已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，

∴∠ABC=∠C，∠ABD=∠ADB，∠ADB=∠BDC.∴∠ABD=∠CBD，∠C=2∠DBC.

∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=∠C=30°，BC=2DC=2×3=6.

∵EF是梯形中位线，∴MF是三角形BCD的中位线，∴MF=BC= 6=3，

故选：B.

点评：本题考查了等腰梯形的性质，利用了等腰梯形的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质.

2.(2014•湖南怀化，第5题，3分)如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O，则下列判断不正确的是(　　)

A. △ABC≌△DCB B. △AOD≌△COB C. △ABO≌△DCO D. △ADB≌△DAC

考点： 等腰梯形的性质;全等三角形的判定.

分析： 由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，可得∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，易证得△ABC≌△DCB，△ADB≌△DAC;继而可证得∠ABO=∠DCO，则可证得△ABO≌△DCO.

解答： 解：A、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，

∴∠ABC=∠DCB，

在△ABC和△DCB中，

∴△ABC≌△DCB(SAS);故正确;

B、∵AD∥BC，

∴△AOD∽△COB，

∵BC>AD，

∴△AOD不全等于△COB;故错误;

C、∵△ABC≌△DCB，

∴∠ACB=∠DBC，

∵∠ABC=∠DCB，

∴∠ABO=∠DCO，

在△ABO和△DCO中，

∴△ABO≌△DCO(AAS);故正确;

D、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，

∴∠BAD=∠CDA，

在△ADB和△DAC中，

∴△ADB≌△DAC(SAS)，故正确.

故选B.

点评： 此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

3. (2014•山东淄博,第7题4分)如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=DC.则cos∠DPC的值是(　　)

A. B. C. D.

考点： 等腰梯形的性质.

分析： 先根据等腰三角形的性质得出∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，故可得出∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，再由AB=AD=DC可知∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，所以∠DAP=∠ABD=∠DBC，再根据∠BAC=∠CDB=90°可知，3∠ABD=90°，故∠ABD=30°，再由直角三角形的性质求出∠DPC的度数，进而得出结论.

解答： 解：∵梯形ABCD是等腰梯形，

∴∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，

∴∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，

∵AB=AD=DC，

∴∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，

∴∠DAP=∠ABD=∠DBC，

∵∠BAC=∠CDB=90°，

∴3∠ABD=90°，

∴∠ABD=30°，

在△ABP中，

∵∠ABD=30°，∠BAC=90°，

∴∠APB=60°，

∴∠DPC=60°，

∴cos∠DPC=cos60°

故选A.

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