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2016-05-20
8.(2015•长春)如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连结BD,则对角线BD的最小值为 1 .
考点: 二次函数图象上点的坐标特征;垂线段最短;矩形的性质.
专题: 计算题.
分析: 先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为(1,1),再根据矩形的性质得BD=AC,由于AC的长等于点A的纵坐标,所以当点A在抛物线的顶点时,点A到x轴的距离最小,最小值为1,从而得到BD的最小值.
解答: 解:∵y=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,
∴抛物线的顶点坐标为(1,1),
∵四边形ABCD为矩形,
∴BD=AC,
而AC⊥x轴,
∴AC的长等于点A的纵坐标,
当点A在抛物线的顶点时,点A到x轴的距离最小,最小值为1,
∴对角线BD的最小值为1.
故答案为1.
点评: 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了矩形的性质.
9.(2015•河南)已知点A(4,y1),B( ,y2),C(﹣2,y3)都在二次函数y=(x﹣2)2﹣1的图象上,则y1、y2、y3的大小关系是 y3>y1>y2 .
考点: 二次函数图象上点的坐标特征.
分析: 分别计算出自变量为4, 和﹣2时的函数值,然后比较函数值得大小即可.
解答: 解:把A(4,y1),B( ,y2),C(﹣2,y3)分别代入y=(x﹣2)2﹣1得:
y1=(x﹣2)2﹣1=3,y2=(x﹣2)2﹣1=5﹣4 ,y3=(x﹣2)2﹣1=15,
∵5﹣4 <3<15,
所以y3>y1>y2.
故答案为y3>y1>y2.
点评: 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是:明确二次函数图象上点的坐标满足其解析式.
10.(2015•乐山)在直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y′),给出如下定义:若y′= ,则称点Q为点P的“可控变点”.
例如:点(1,2)的“可控变点”为点(1,2),点(﹣1,3)的“可控变点”为点(﹣1,﹣3).
(1)若点(﹣1,﹣2)是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”,则点M的坐标为 (﹣1,2) .
(2)若点P在函数y=﹣x2+16(﹣5≤x≤a)的图象上,其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16,则实数a的取值范围是 0≤a≤4 .
考点: 二次函数图象上点的坐标特征;一次函数图象上点的坐标特征.
专题: 新定义.
分析: (1)直接根据“可控变点”的定义直接得出答案;
(2)根据题意可知y=﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y= 的图象上,结合图象即可得到答案.
解答: 解:(1)根据“可控变点”的定义可知点M的坐标为(﹣1,2);
(2)依题意,y=﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y= 的图象上.
∵﹣16≤y′≤16,
当y′=16时,16=﹣x2+16或﹣16=﹣x2+16.
∴x=0或x=4 .
当y′=﹣16时,﹣16=﹣x2+16.
∴x=4 .
∴a的取值范围是0≤a≤4 .
故答案为(﹣1,2),0≤a≤4 .
点评: 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是熟练掌握新定义“可控变点”,解答此题还需要掌握二次函数的性质,此题有一定的难度.
11.(2015•宿迁)当x=m或x=n(m≠n)时,代数式x2﹣2x+3的值相等,则x=m+n时,代数式x2﹣2x+3的值为 3 .
考点: 二次函数图象上点的坐标特征.
分析: 设y=x2﹣2x+3由当x=m或x=n(m≠n)时,代数式x2﹣2x+3的值相等,得到抛物线的对称轴等于 =﹣ ,求得m+n=2,再把m+n=2代入即可求得结果.
解答: 解:设y=x2﹣2x+3,
∵当x=m或x=n(m≠n)时,代数式x2﹣2x+3的值相等,
∴ =﹣ ,
∴m+n=2,
∴当x=m+n时,
即x=2时,x2﹣2x+3=(2)2﹣2×(2)+3=3,
故答案为:3.
点评: 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,熟记抛物线的对称轴公式是解题的关键.
12.(2015•龙岩)抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是 y=﹣2x2﹣4x﹣3 .
考点: 二次函数图象与几何变换.
分析: 根据旋转的性质,可得a的绝对值不变,根据中心对称,可得答案.
解答: 解:将y=2x2﹣4x+3化为顶点式,得y=2(x﹣1)2+1,
抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2(x+1)2﹣1,
化为一般式,得
y=﹣2x2﹣4x﹣3,
故答案为:y=﹣2x2﹣4x﹣3.
点评: 本题考查了二次函数图象与几何变换,利用了中心对称的性质.
13.(2015•湖州)如图,已知抛物线C1:y=a1x2+b1x+c1和C2:y=a2x2+b2x+c2都经过原点,顶点分别为A,B,与x轴的另一交点分别为M,N,如果点A与点B,点M与点N都关于原点O成中心对称,则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线,请你写出一对姐妹抛物线C1和C2,使四边形ANBM恰好是矩形,你所写的一对抛物线解析式是 y=﹣ x2+2 x 和 y= x2+2 x .
考点: 二次函数图象与几何变换.
专题: 新定义.
分析: 连接AB,根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数,一次项系数相等且不等于零,常数项都是零,设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx,
根据四边形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等边三角形,设OM=2,则点A的坐标是(1, ),求出抛物线C1的解析式,从而求出抛物线C2的解析式.
解答: 解:连接AB,
根据姐妹抛物线的定义,可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数,一次项系数相等且不等于零,常数项都是零,
设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx,
根据四边形ANBM恰好是矩形可得:OA=OM,
∵OA=MA,
∴△AOM是等边三角形,
设OM=2,则点A的坐标是(1, ),
则 ,
解得:
则抛物线C1的解析式为y=﹣ x2+2 x,
抛物线C2的解析式为y= x2+2 x,
故答案为:y=﹣ x2+2 x,y= x2+2 x.
点评: 此题考查了二次函数的图象与几何变换,用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定,关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系.
14.(2015•绥化)把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,平移后抛物线的解析式为 y=2(x+1)2﹣2 .
考点: 二次函数图象与几何变换.
分析: 直接根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答.
解答: 解:由“左加右减”的原则可知,将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为:y=2(x+1)2,即y=2(x+1)2;由“上加下减”的原则可知,将抛物线y=2(x+1)2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为:y=2(x+1)2﹣2,即y=2(x+1)2﹣2.
故答案为:y=2(x+1)2﹣2.
点评: 本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.
15.(2015•岳阳)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,顶点C的纵坐标为﹣2,现将抛物线向右平移2个单位,得到抛物线y=a1x2+b1x+c1,则下列结论正确的是 ③④ .(写出所有正确结论的序号)
①b>0
②a﹣b+c<0
③阴影部分的面积为4
④若c=﹣1,则b2=4a.
考点: 二次函数图象与几何变换;二次函数图象与系数的关系.
分析: ①首先根据抛物线开口向上,可得a>0;然后根据对称轴为x=﹣ >0,可得b<0,据此判断即可.
②根据抛物线y=ax2+bx+c的图象,可得x=﹣1时,y>0,即a﹣b+c>0,据此判断即可.
③首先判断出阴影部分是一个平行四边形,然后根据平行四边形的面积=底×高,求出阴影部分的面积是多少即可.
④根据函数的最小值是 ,判断出c=﹣1时,a、b的关系即可.
解答: 解:∵抛物线开口向上,
∴a>0,
又∵对称轴为x=﹣ >0,
∴b<0,
∴结论①不正确;
∵x=﹣1时,y>0,
∴a﹣b+c>0,
∴结论②不正确;
∵抛物线向右平移了2个单位,
∴平行四边形的底是2,
∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2,
∴平行四边形的高是2,
∴阴影部分的面积是:2×2=4,
∴结论③正确;
∵ ,c=﹣1,
∴b2=4a,
∴结论④正确.
综上,结论正确的是:③④.
故答案为:③④.
点评: (1)此题主要考查了二次函数的图象与几何变换,要熟练掌握,解答此类问题的关键是要明确:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.
(2)此题还考查了二次函数的图象与系数的关系,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0,c).
16.(2015•莆田)用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形,则围成矩形面积的最大值是 64 cm2.
考点: 二次函数的最值.
分析: 设矩形的一边长是xcm,则邻边的长是(16﹣x)cm,则矩形的面积S即可表示成x的函数,根据函数的性质即可求解.
解答: 解:设矩形的一边长是xcm,则邻边的长是(16﹣x)cm.
则矩形的面积S=x(16﹣x),即S=﹣x2+16x,
当x=﹣ =﹣ =8时,S有最大值是:64.
故答案是:64.
点评: 本题考查了二次函数的性质,求最值得问题常用的思路是转化为函数问题,利用函数的性质求解.
17.(2015•资阳)已知抛物线p:y=ax2+bx+c的顶点为C,与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧),点C关于x轴的对称点为C′,我们称以A为顶点且过点C′,对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线,直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2,则这条抛物线的解析式为 y=x2﹣2x﹣3 .
考点: 抛物线与x轴的交点;二次函数的性质.
专题: 新定义.
分析: 先求出y=x2+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为(1,4),再求出“梦之星”抛物线y=x2+2x+1的顶点A坐标(﹣1,0),接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C(1,﹣4),则可设顶点式y=a(x﹣1)2﹣4,
然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式.
解答: 解:∵y=x2+2x+1=(x+1)2,
∴A点坐标为(﹣1,0),
解方程组 得 或 ,
∴点C′的坐标为(1,4),
∵点C和点C′关于x轴对称,
∴C(1,﹣4),
设原抛物线解析式为y=a(x﹣1)2﹣4,
把A(﹣1,0)代入得4a﹣4=0,解得a=1,
∴原抛物线解析式为y=(x﹣1)2﹣4=x2﹣2x﹣3.
故答案为y=x2﹣2x﹣3.
点评: 本题考查了二次函数与x轴的交点:求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标,令y=0,即ax2+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数,△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
18.(2015•营口)某服装店购进单价为15元童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为 22 元时,该服装店平均每天的销售利润最大.
考点: 二次函数的应用.
分析: 根据“利润=(售价﹣成本)×销售量”列出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;把二次函数解析式转化为顶点式方程,利用二次函数图象的性质进行解答.
解答: 解:设定价为x元,
根据题意得:y=(x﹣15)[8+2(25﹣x)]
=﹣2x2+88x﹣870
∴y=﹣2x2+88x﹣870,
=﹣2(x﹣22)2+98
∵a=﹣2<0,
∴抛物线开口向下,
∴当x=22时,y最大值=98.
故答案为:22.
点评: 此题题考查二次函数的实际应用,为数学建模题,借助二次函数解决实际问题,解决本题的关键是二次函数图象的性质.
19.(2015•温州)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m,则能建成的饲养室面积最大为 75 m2.考点/page]
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