三、解答题

1. (2012辽宁鞍山10分)如图，AB是⊙O的弦，AB=4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB= ，延长OE到点F，使EF=2OE.

(1)求⊙O的半径;

(2)求证：BF是⊙O的切线.

【答案】解：(1)如图，连接OA，

∵直径CE⊥AB，∴AD=BD=2，  。

∴∠ACE=∠BCE，∠AOE=∠BOE，

又∵∠AOB=2∠ACB，∴∠BOE=∠ACB。

又∵cos∠ACB= ，∴cos∠BOD= ，

在Rt△BOD中，设OD=x，则OB=3x，

∵OD2+BD2=OB2，∴x2+22=(3x)2，解得x= 。

∴OB=3x= ，即⊙O的半径为 。

(2)证明：∵FE=2OE，∴OF=3OE= 。∴ 。

又∵ ，∴ 。

又∵∠BOF=∠DOB，∴△OBF∽△ODB。∴∠OBF=∠ODB=90°。

∵OB是半径，∴BF是⊙O的切线。

【考点】垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定。

【分析】(1)连接OA，由直径CE⊥AB，根据垂径定理得AD=BD=2， ，由已知利用圆周角定理可得到∠BOE=∠ACB，可得到cos∠BOD=cos∠ACB= ，在Rt△BOD中，设OD=x，则OB=3x，利用勾股定理可计算出x= ，则OB=3x= 。

(2)由于FE=2OE，则OF=3OE= ，则 ，而 ，于是得到 ，根据相似三角形的判定即可得到△OBF∽△ODB，根据相似三角形的性质有∠OBF=∠ODB=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论。

2. (2012辽宁本溪12分)如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，AD=10，DC=8。以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB=BE。

(1)求证：AB是⊙O的切线;

(2)过D点作DF∥BC交⊙O与点F ，求线段DF的长。

【答案】解：(1)如图，连接OB、OE。

在△ABO和△EBO中，

∵AB=BE(已知)，BO=BO(公共边)，OA=OE(圆的半径)，

∴△ABO≌△EBO(SSS)。

∴∠BAO=∠BEO(全等三角形的对应角相等)。

又∵BE是⊙O的切线，∴OE⊥BC。∴∠BEO=90°，

∴∠BAO=90°，即AB⊥AD。∴AB是⊙O的切线。

(2)∵AD=10，DC=8，∴OE=5，OC=13，∴根据勾股定理，EC=12。

设DF交OE于点G。

∵DF∥BC(已知)，∴∠OGD=∠OEC=90°(两直线平行，同位角相等)。

∴OG⊥DF。∴FD=2DG(垂径定理)。

∵DF∥BC，∴△OGD∽△OEC。∴ ，即 ∴DG= 。

∴DF= 。

【考点】切线的判定和性质，勾股定理，垂径定理，全等、相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)欲证AB是⊙O的切线，只需证明证得AB⊥AD即可。

(2)根据垂径定理推知DF=2DG;然后根据△OGD∽△OEC证得  ，由此可以求得DF的长度。

3. (2012辽宁朝阳10分)如图已知P为⊙O外一点。PA为⊙O的切线，B为⊙O上一点，且PA=PB，

C为优弧 上任意一点(不与A、B重合)，连接OP、AB，AB与OP相交于点D，连接AC、BC。

(1)求证：PB为⊙O的切线;

(2)若 ，⊙O的半径为 ，求弦AB的长。

【答案】解：(1)证明：如图，连接OA，OB，

∵AP为圆O的切线，∴OA⊥AP，即∠OAP=90°。

在△OAP和△OBP中，

∵AP=BP(已知)，OA=OB(半径相等)，OP=OP(公共边)，

∴△OAP≌△OBP(SSS)。∴∠OAP=∠OBP=90°。

∴OB⊥BP，即BP为圆O的切线。

(2)延长线段BO，与圆O交于E点，连接AE，

∵BE为圆O的直径，∴∠BAE=90°。

∵∠AEB和∠ACB都对 ，∴∠AEB=∠ACB。

∴ 。

设AB=2x，则AE=3x，

在Rt△AEB中，BE= ，根据勾股定理得： 。

解得：x=2或x=-2(舍去)。

∴AB=2x=4。

【考点】切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理。

【分析】(1)连接OA，OB，根据AP为⊙O的切线，利用切线的性质得到∠OAP为直角，由半径OA=OB，已知AP=BP，以及公共边OP，用SSS证得△OAP≌△OBP，由全等三角形的对应角相等得到∠OBP为直角，即BP垂直于OB，可得出BP为⊙O的切线。

(2)延长BO与圆交于点E，连接AE，利用同弧所对的圆周角相等得到∠AEB=∠ACB，由锐角三角函数定义，可得出tan∠AEB的值，由BE为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到∠BAE为直角，在Rt△AEB中，设AB=2x，得到AE=3x，再由直径BE的长，利用勾股定理得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出弦AB的长。

4. (2012辽宁大连10分)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F。

(1)猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想;

(2)若AB=6，AD=5，求AF的长。

【答案】解：(1)ED与⊙O的位置关系是相切。理由如下：

连接OD，

∵∠CAB的平分线交⊙O于点D，∴ 。∴OD⊥BC。

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC。

∵DE⊥AC，∴DE∥BC。∴OD⊥DE。

∴ED与⊙O的位置关系是相切。

(2)连接BD，

∵AB=6，AD=5，

∴在Rt△ABD中， 。

∵AB是直径，∴∠ADB=90°。

∴在Rt△ABD和Rt△ADE中，∠E=∠ADB=90°，∠EAD=∠DAB，

∴△ABD∽△ADE。∴ ，即 。∴ 。

在Rt△ADE中， 。

∵DE是圆的切线，∴DE2=CE•AE。∴CE= 。

∴AC=AE-CE= 。

∵BC∥DE，∴△ACF∽△AED。∴ 。

∴AF= 。

【考点】角平分线的性质，圆周角定理，垂径定理，平行的判定和性质，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)连接OD，根据∠CAB的平分线交⊙O于点D，则 ，依据垂径定理可以得到：OD⊥BC，然后根据直径的定义，可以得到OD∥AE，从而证得：DE⊥OD，则DE是圆的切线。

(2)首先证明△ABD∽△ADE，依据相似三角形的对应边的比相等，即可求得DE的长，然后利用切割线定理即可求得CE的长，和AC的长，再根据△ACF∽△AED，对应边的比相等即可求解。

5. (2012辽宁丹东10分)如图，在△ABC中，∠BAC=30°，以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作

⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点，且 ，弦AD的延长线交切线PC于点E，连

接BC.

(1)判断OB和BP的数量关系,并说明理由;

(2)若⊙O的半径为2，求AE的长.

【答案】解：(1)OB=BP。理由如下：连接OC，

∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP=90°。

∵OA=OC，∠OAC=30°，∴∠OAC=∠OCA=30°。

∴∠COP=60°。∴∠P=30°。

在Rt△OCP中，OC= OP=OB=BP。