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山东聊城2013中考数学解答题解析五

24．（10分）（2013?聊城）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证：

（1）四边形FADC是菱形；

（2）FC是⊙O的切线．

考点：切线的判定与性质；菱形的判定．3338333

分析：（1）首先连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径OC的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得AD=CD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形；

（2）首先连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线．

解答：证明：（1）连接OC，

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴CE=DE=CD=×4=2，

设OC=x，

∵BE=2，

∴OE=x﹣2，

在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，

∴x2=（x﹣2）2+（2）2，

解得：x=4，

∴OA=OC=4，OE=2，

∴AE=6，

在Rt△AED中，AD==4，

∴AD=CD，

∵AF是⊙O切线，

∴AF⊥AB，

∵CD⊥AB，

∴AF∥CD，

∵CF∥AD，

∴四边形FADC是平行四边形，

∴?FADC是菱形；

（2）连接OF，

∵四边形FADC是菱形，

∴FA=FC，

在△AFO和△CFO中，

，

∴△AFO≌△CFO（SSS），

∴∠FCO=∠FAO=90°，

即OC⊥FC，

∵点C在⊙O上，

∴FC是⊙O的切线．

点评：此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

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