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山东聊城2013中考数学解答题解析六

25．（12分）（2013?聊城）已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．

（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；

（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？

（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．

考点：二次函数综合题．3338333

分析：（1）先表示出BC边上的高，再根据三角形的面积公式就可以表示出表示y与x之间的函数关系式，当y=48时代入解析式就可以求出其值；

（2）将（1）的解析式转化为顶点式就可以求出最大值．

（3）由（2）可知△ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，连接B′C 交直线L于点A′，再连接A′B，AB′，根据轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值．

解答：解：（1）由题意，得

y==﹣x2+10x，

当y=48时，﹣x2+10x=48，

解得：x1=12，x2=8，

∴面积为48时，BC的长为12或8；

（2）∵y=﹣x2+10x，

∴y=﹣（x﹣10）2+50，

∴当x=10时，y最大=50；

（3）△ABC面积最大时，△ABC的周长存在最小的情形．理由如下：

由（2）可知△ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10

过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，

连接B′C 交直线L于点A′，再连接A′B，AB′

则由对称性得：A′B′=A′B，AB′=AB，

∴A′B+A′C=A′B′+A′C=B′C，

当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：

△ABC的周长=AB+AC+BC=AB′+AC+BC＞B′C+BC，

当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时△ABC的周长=AB+AC+BC=A′B′+A′C+BC=B′C+BC，

因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小；

这时由作法可知：BB′=20，∴B′C==10，∴△ABC的周长=10+10，

因此当△ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10+10．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法和顶点式的运用，轴对称的性质的运用，在解答第三问时灵活运用轴对称的性质是关键．

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