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2011年山东临沂中考数学真题综合题解析二

26、考点：二次函数综合题。

专题：综合题。

分析：（1）由于抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等以及对角线互相平方，可以求出点D的坐标；

（3）根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标．

解答：解（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），且过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得，解得．故抛物线的解析式为y=x2+2x；

（2）①当AE为边时，

∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，则D在x轴下方不可能，

∴D在x轴上方且DE=2，

则D1（1，3），D2（﹣3，3）；

②当AO为对角线时，则DE与AO互相平方，

因为点E在对称轴上，

且线段AO的中点横坐标为﹣1，

由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1）

故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）；

（3）存在，

如上图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，

∴BO2+CO2=BC2．∴△BOC是直角三角形．

假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，

设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，

①若△AMP∽△BOC，则=，即 x+2=3（x2+2x）得：x1=，x2=﹣2（舍去）．

当x=时，y=，即P（，）．

②若△PMA∽△BOC，则=，即：x2+2x=3（x+2）得：x1=3，x2=﹣2（舍去）

当x=3时，y=15，即P（3，15）．故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）．

点评：本题考查的是二次函数的综合题，首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点D和点P的坐标．

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