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1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2012年苏州市中考第29题

如图1，已知抛物线

(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B是左侧)，与y轴的正半轴交于点C.

(1)点B的坐标为______，点C的坐标为__________(用含b的代数式表示);

(2)请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在，求出点P的坐标;如果不存在，请说明理由;

(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在，求出点Q的坐标;如果不存在，请说明理由.

动感体验

请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻.双击按钮“第(3)题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA=∠B的时刻，也存在∠OQ′A=∠B的时刻.

思路点拨

1.第(2)题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等.

2.联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示.

3.第(3)题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上.

满分解答

(1)B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为

.

(2)如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC.

因此PD=PE.设点P的坐标为(x, x).

如图3，联结OP.

考点伸展

第(3)题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况.

这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置.

如图中，圆与直线x=1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢?

如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB=4OC矛盾.

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