②若OB=PB，则42+|y+2 |2=42，

解得y=﹣2 ，

故点P的坐标为(2，﹣2 )，

③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2 |2，

解得y=﹣2 ，

故点P的坐标为(2，﹣2 )，

综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为(2，﹣2 )，

【2.2012菏泽】

21.如图，在平面直角坐 标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0，1)，B(2，0)，O(0，0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O.

(1)一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式;

(2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍?若存在，请求出P的坐标;若不存在，请说明理由.

(3)在(2)的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?并写出四边形PB′A′B的两条性质.

考点：二次函数综合题。

解答：解：(1)△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，

又A(0，1)，B(2，0)，O(0，0)，

∴A′(﹣1，0)，B′(0，2).

设抛物线的解析式为： ，

∵抛物线经过点A′、B′、B，

，解之得 ，

满足条件的抛物线的解析式为 ..

(2)∵P为第一象限内抛物线上的一动点，

设P(x，y)，则x>0，y>0，P点坐标满足 .

连接PB，PO，PB′，

.

假设四边形 的面积是 面积的 倍，则

，

即 ，解之得 ，此时 ，即 .

∴存在点P(1，2)，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.

(3)四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可.

①等腰梯形同一底上的两个内角相等;②等腰梯形对角线相等;

③等腰梯形上底与下底平行;④等腰梯形两腰相等.

或用符号表示：

①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′;②PA′=B′B;③B′P∥A′B;④B′A′=PB.

【3. 2012义乌市】

24.如图1，已知直线y=kx与抛物线y=  交于点A(3，6).

(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;

(2)点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M(点M、O不重合)，交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是，求出这个定值;如果不是，说明理由;

(3)如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O、A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个?

考点：二次函数综合题。

解答：解：(1)把点A(3，6)代入y=kx 得;

∵6=3k，

∴k=2，

∴y=2x.(2012义乌市)

OA= .…(3分)

(2) 是一个定值，理由如下：

如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H.

①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，

此时 ;

②当QH与QM不重合时，

∵QN⊥QM，QG⊥QH

不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，

∴∠MQH=∠GQN，

又∵∠QHM=∠QGN=90°

∴△QHM∽△QGN…(5分)，

∴ ，

当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得 . …(7分)①①

(3)如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R

∵∠AOD=∠BAE，

∴AF=OF，

∴OC=AC= OA=

∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，

∴△AOR∽△FOC，

∴ ，

∴OF= ，

∴点F( ，0)，

设点B(x， )，

过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，

∴ ，

即 ，

解得x1=6，x2=3(舍去)，

∴点B(6，2)，

∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，

∴AB=5         …(8分);

(求AB也可采用下面的方法)

设直线AF为y=kx+b(k≠0)把点A(3，6)，点F( ，0)代入得

k= ，b=10，

∴ ，

∴ ，

∴ (舍去)， ，

∴B(6，2)，

∴AB=5…(8分)