(1)求抛物线的解析式;

(2)若点D的坐标为(-1，0)，在直线 上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标;

(3)在(2)的条件下，在x轴下方 的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积?如果存在，请求出点E的坐标;如果不存在，请说明理由.

考点：二次函数综合题。

解答：解：(1)：由题意得，A(3，0)，B(0，3)

∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三点分别代入 得方程组

解得：

∴抛物线的解析式为

(2)由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，

若△A BO∽△AP1D，则

∴DP1=AD=4  ,

∴P1 (版权所有)

若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4,

∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合∴P2(1，2)

(3)如图设点E  ，则

①当P1(-1,4)时，

S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE

=

∴     ∴

∵点E在x轴下方  ∴

代入得：  ,即

∵△=(-4)2-4×7=-12<0

∴此方程无解

②当P2(1，2)时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE =

∴     ∴

∵点E在x轴下方  ∴   代入得：

即  ，∵△=(-4)2-4×5=-4<0

∴此方程无解

综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。

【10. 2012泰安】(版权所有)

29.如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为(1，0).若抛物线 过A、B两点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB?若存在，求出点P的坐标;若不存在说明理由;

(3)若点M是抛物线(在第一象限内的部分)上一点，△MAB的面积为S，求S的最大(小)值.

考点：二次函数综合题。

解答：解：(1)如答图1，连接OB.

∵BC=2，OC=1

∴OB=

∴B(0， )

将A(3，0)，B(0， )代入二次函数的表达式

得  ，解得：  ，

∴ .(版权所有)

(2)存在.

如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P.

∵B(0， )，O(0，0)，

∴直线l的表达式为 .代入抛物线的表达式，

得 ;

解得 ，

∴P( ).

(3)如答图3，作MH⊥x轴于点H.

设M(  )，

则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB= (MH+OB)•OH+ HA•MH﹣ OA•OB

=

∴当 时， 取得最大值，最大值为

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