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2012学年第一学期徐汇区初三年级数学学科

期终学习能力诊断卷　 2013、1

(时间100分钟 满分150分)

考生注意∶

1.本试卷含三个大题，共25题;答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效;

2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.

一.选择题(本大题共6题，每题4分，满分24分)

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】

1.在 中， ， ， ，那么 等于…………(　　)

A. ; B. .; C. ; D. .

2.将抛物线 沿 轴向上平移1个单位后所得抛物线的解析式是 …………(　　)

A. ; B. ; C. ; D. .

3.坡比等于1∶ 的斜坡的坡角等于 ………………………………………………(　　)

A. ; B. ; C. ; D. .

4.关于二次函数 的图像，下列说法正确的是…………………………( ).

A.开口向下; B.最低点是 ;

C.对称轴是直线 ; D.对称轴的右侧部分是上升的.

5.如图1， 相交于点 ，下列条件中能判定 ∥ 的是 …………(　　)

A. ; B. ;

C. ; D. .

6.如图2，在 中， ， 垂足为 ，那么下列结论中错误的

是………………………………………………………………………………………(　　)

A. ; B. ;

C. ; D. .

二.填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)

7.计算： ▲ .

8.计算： ▲ .

9.抛物线 与 轴的交点坐标是 ▲ .

10.如果两个相似三角形对应角平分线的比是 ，那么它们对应高的比是 ▲ .

11.如图3，已知 ∥ ∥ ， ， ，那么 ▲ .

12.点 是线段 上一点， ，点 分别是线段 的中点，那么

等于 ▲ .

13.抛物线 过 和 两点 ，那么该抛物线的对称轴是 ▲ .

14.在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A(2，4)，如果AO与x轴正半轴的夹角

为 ，那么 = .

15.小明同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，他此时测得旗杆在同一地

面的影长为12米，那么旗杆高为 __ ▲ 米.

16.抛物线 与x轴交于点 (点 在点 的左侧)，与 轴交于点 ，且 ， ，那么 的值是 ▲ .

17.两个等腰直角三角形 和 的位置如图4所示，

点 和点 分别在一直线上， ，

， ，点 分别是 、

的重心，联结 ，那么 ▲ .

18.在 中， ， ， ，点 是斜边AB的中点，把 绕点 旋转，使得点 落在射线 上，点 落在点 .那么 的长是_____▲________.

三.(本大题共7题，第19-22题每题10分;第23、24题每题12分;第25题14分;

满分78分)

19.(本题满分10分)

抛物线 经过点 、 两点.

(1)求抛物线顶点 的坐标; (5分)

(2)抛物线与 轴的另一交点为 ，求 的面积. (5分)

20.(本题满分10分)

如图5，在 中，点 是边 的中点， ， .

(1)求 的长; (5分)

(2)设 ， = ，求向量 (用向量 、 表示). (5分)

21.(本题满分10分)

如图6，在 中， 平分 交 于点 ，过点 作 ∥ 交 于

点 .

(1)求证： ; (5分)

(2)如果 ， ， ，求 的长. (5分)

22.(本题满分10分)

如图7，小岛 正好在深水港口 的东南方向，一艘集装箱货船从港口 出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶， 分钟后在 处测得小岛 在它的南偏东 方向，求小岛 离开深水港口 的距离.(精确到 千米)

参考数据： ， ， ， ， .

23.(本题满分12分)

"数学迷"小楠通过从"特殊到一般"的过程，对倍角三角形(一个内角是另一个内角的2倍的三角形)进行研究.得出结论：如图8，在 中， 的对边分别是 ，如果 ，那么 .

下面给出小楠对其中一种特殊情形的一种证明方法.

已知：如图9，在 中， , .

求证： .

证明：如图9，延长 到 ，使得 .

∴ ，

∵ ，

∴ ，∵ ，

∴ ，又

∴ ∽

∴ ，即

∴

根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明(用不同于材料中的方法也可以)：

已知：如图8，在 中， .

求证： .

24.(本题满分12分)

抛物线 与 轴正半轴交于点 ,与 轴分别交于点 和点 ，

且 .

(1)求抛物线的解析式; (6分)

(2)点 是 轴上一点，当 和 相似时，求点 的坐标. (6分)

25.(本题满分14分)

梯形 中， ∥ ， ， ， ， ，

点 是边 的中点，点 是边 上的动点.

(1)如图10，求梯形 的周长; (4分)

(2)如图11，联结 ，设 ， ( < < )，求 关于 的关系式及定义域; (4分)

(3)如果直线 与直线 交于点 ，当 时，求 的长. (6分)

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