数学归纳预测型问题复习解答

考点一：猜想数式规律

通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式。

例1  (2013•巴中)观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是

.

思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2(n-1)，a的指数为n.

解：第八项为-27a8=-128a8.

点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.

对应训练

1.(2013•株洲)一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为

.

1.(-2)n-1xn

考点二：猜想图形规律

根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。

例2  (2013•牡丹江)用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是

.

思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个;第2个图形共有三角形5+3×2-1个;第3个图形共有三角形5+3×3-1个;第4个图形共有三角形5+3×4-1个;…;则第n个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个;

解答：解：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个;

第2个图形共有三角形5+3×2-1个;

第3个图形共有三角形5+3×3-1个;

第4个图形共有三角形5+3×4-1个;

…;

则第n个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个;故答案为：3n+4

点评：此题考查了规律型：图形的变化类，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论.

例3 (2013•绥化)如图所示，以O为端点画六条射线后OA，OB，OC，OD，OE，O后F，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线

上.

思路分析：根据规律得出每6个数为一周期.用2013除以3，根据余数来决定数2013在哪条射线上.

解：∵1在射线OA上，

2在射线OB上，

3在射线OC上，

4在射线OD上，

5在射线OE上，

6在射线OF上，

7在射线OA上，

…

每六个一循环，

2013÷6=335…3，

∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样，

∴所描的第2013个点在射线OC上.

故答案为：OC.

点评：此题主要考查了数字变化规律，根据数的循环和余数来决定数的位置是解题关键.

对应训练

2.(2013•娄底)如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需

根火柴棒.

2.2n+1

3.(2013•江西)观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为

(用含n的代数式表示).

3.(n+1)2

解：第1个图形中点的个数为：1+3=4，

第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，

第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16，

…，

第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+(2n+1)==(n+1)2.

故答案为：(n+1)2.

考点三：猜想坐标变化规律

例3  (2013•威海)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(-1，0).一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1.使得点P1与点O关于点A成中心对称;第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称;第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称;第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称;第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称;…照此规律重复下去，则点P2013的坐标为

.

思路分析：计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，可得出规律，继而可求出点P2013的坐标.

解：点P1(2，0)，P2(-2，2)，P3(0，-2)，P4(2，2)，P5(-2，0)，P6(0，0)，P7(2，0)，

从而可得出6次一个循环，

∵=335…3，

∴点P2013的坐标为(0，-2).

故答案为：(0，-2).

点评：本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律.

对应训练

3.(2013•兰州)如图，在直角坐标系中，已知点A(-3，0)、B(0，4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为

.

3.(8052，0)

考点四：猜想数量关系

数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。

例4  (2013•黑龙江)正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F.

(1)如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE(不需证明)

(2)当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系?请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明.

思路分析：(1)过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证;

(2)选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证;选择图3同理可证.

解：(1)证明：如图，过点B作BG⊥OE于G，

则四边形BGEF是矩形，

∴EF=BG，BF=GE，

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，

∵BG⊥OE，

∴∠OBG+∠BOE=90°，

又∵∠AOE+∠BOE=90°，

∴∠AOE=∠OBG，

∵在△AOE和△OBG中，

，

∴△AOE≌△OBG(AAS)，

∴OG=AE，OE=BG，

∵AF-EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE-GE=OE-BF，

∴AF-OE=OE-BF，

∴AF+BF=2OE;

(2)图2结论：AF-BF=2OE，

图3结论：AF-BF=2OE.

对图2证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，

则四边形BGEF是矩形，

∴EF=BG，BF=GE，

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，

∵BG⊥OE，

∴∠OBG+∠BOE=90°，

又∵∠AOE+∠BOE=90°，

∴∠AOE=∠OBG，

∵在△AOE和△OBG中，

，

∴△AOE≌△OBG(AAS)，

∴OG=AE，OE=BG，

∵AF-EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，

∴AF-OE=OE+BF，

∴AF-BF=2OE;

若选图3，其证明方法同上.

点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点.

对应训练

4.(2013•锦州)如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF.

(1)猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想;

(2)在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系;

(3)如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系.并证明你的猜想.

4.(1)EF=BE+DF，

证明：如答图1，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，

在△ADF和△ABQ中

，

∴△ADF≌△ABQ(SAS)，

∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，

∵∠DAB=90°，∠FAE=45°，

∴∠DAF+∠BAE=45°，

∴∠BAE+∠BAQ=45°，

即∠EAQ=∠FAE，

在△EAQ和△EAF中

，

∴△EAQ≌△EAF，

∴EF=BQ=BE+EQ=BE+DF.

(2)解：AM=AB，

理由是：∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ，

∴×BQ×AB=×FE×AM，

∴AM=AB.

(3)AM=AB，

证明：如答图2，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，

∵折叠后B和D重合，

∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD，

在△ADF和△ABQ中

，

∴△ADF≌△ABQ(SAS)，

∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，

∵∠FAE=∠BAD，

∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=∠BAD，

即∠EAQ=∠FAE，

在△EAQ和△EAF中

∴△EAQ≌△EAF，

∴EF=BQ，

∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ，

∴×BQ×AB=×FE×AM，

∴AM=AB.

考点五：猜想变化情况

随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。

例5  (2013•张家界)如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=;再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=;又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2;…依此法继续作下去，得OP2012=          .

思路分析：首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2012的长.

解：由勾股定理得：OP4==，

∵OP1=;得OP2=;OP3=2=;

依此类推可得OPn=，

∴OP2012=，

故答案为：.

点评：本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律.

对应训练

5.(2013•黑龙江)已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3;…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形ABnCn的面积为

.

5.

考点六：猜想数字求和

例6 (2013•广安)已知直线y=(n为正整数)与坐标轴围成的三角形的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2012=            .

思路分析：令x=0，y=0分别求出与y轴、x轴的交点，然后利用三角形面积公式列式表示出Sn，再利用拆项法整理求解即可.

解：令x=0，则y=，

令y=0，则-x+=0，

解得x=，

所以，Sn==，

所以，S1+S2+S3+…+S2012=

==.

故答案为：.

点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，表示出Sn，再利用拆项法写成两个数的差是解题的关键，也是本题的难点.

对应训练

6.(2013•黔东南州)观察规律：1=12;1+3=22;1+3+5=32;1+3+5+7=42;…，则1+3+5+…+2013的值是

.

6.1014049

四、中考真题演练

一、选择题

1.(2013•南平)给定一列按规律排列的数： ，…，则这列数的第6个数是(　　)

A.  B.  C.  D.

1.A

2.(2013•重庆)下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第(1)个图形的面积为2cm2，第(2)个图形的面积为8cm2，第(3)个图形的面积为18cm2，…，则第(10)个图形的面积为(　　)

A.196cm2 B.200cm2 C.216cm2 D.256cm2

2.B

3.(2013•呼和浩特)如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需(　　)根火柴.

A.156 B.157 C.158 D.159

3.B

4.(2013•重庆)下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1棵棋子，第②个图形一共有6棵棋子，第③个图形一共有16棵棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为(　　)

A.51 B.70 C.76 D.81

4.C

5.(2013•济南)如图，动点P从(0，3)出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为(　　)

A.(1，4) B.(5，0) C.(6，4) D.(8，3)

5.D

6.(2013•济宁)如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O;以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1;以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B;…;依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为(　　)

A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2

6.B

二.填空题

7.(2013•沈阳)有一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为

.

7.82+92+722=732

8.(2013•曲靖)一组“穿心箭”按如下规律排列，照此规律，画出2013支“穿心箭”是

.

8.

9.(2013•三明)观察下列各数，它们是按一定规律排列的，则第n个数是               .

，…

9.

10.(2013•莱芜)已知123456789101112…997998999是由连续整数1至999排列组成的一个数，在该数中从左往右数第2013位上的数字为

.

10.7

11.(2013•红河州)下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，按此规律排列下去，第20个图形中有

个实心圆.

11.42

12.(2013•衡阳)观察下列按顺序排列的等式：a1=1−，a2=，a3=，a4=，…，试猜想第n个等式(n为正整数)：an=            .

12.

13.(2013•遂宁)为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示：按照上面的规律，摆第(n)图，需用火柴棒的根数为

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