∴点P的坐标为( ， )。

10. (江苏省苏州市2011年3分)函数 的自变量x的取值范围是 ▲ .

【答案】 。

【考点】函数自变量的取值范围, 二次根式和分式有意义的条件。

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件得出结论： 。

三、解答题

1. (江苏省苏州市2006年8分)如图，直角坐标系中，已知点A(2，4)，B(5，0)，动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点Q从A点出发沿AB向终点B运动.两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了 .

(1)Q点的坐标为(___，___)(用含x的代数式表示)

(2)当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形?

(3)记PQ的中点为G.请你探求点G随点P，Q运动所形成的图形，并说明理由.

【答案】解：(1)2+ ，4- 。

(2)由题意，得AQ=BP= ，P(5-x，0)，0≤x≤5，

由勾股定理，求得PQ2=( 一3)2+(4- )2，AP2=(3 -x)2+42

若AQ=AP，则x2=(3-x)2+42，解得x= 。

若PQ=AP，则( -3)2+(4- )2=(3-x)2+42，

即 x2-10x=0，解得x1=0(舍去)，x2= 。

经检验，当x= 或x= 时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形。

(3)设AB，BO的中点分别为点M，N，则点G随点P，Q

运动所形成的图形是线段MN。理由如下：

由M( ，2)，N( ，0)，可求得线段MN的函数关系式为y=2x-5( ≤x≤ )，

由P(5-x，0)，Q(2+ ,4- )得G( 。

∵G( 满足y=2x-5 ，∴点G在线段MN上。

【考点】坐标与图形性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，解一元二次方程，中点公式，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)如果过点A作OB的垂线，不难求出cos∠ABO= ，sin∠ABO= ，因此，Q移动时，横向移动的速度是1•cos∠ABO=35单位/秒，纵向移动的速度是1•sin∠ABO=45单位/秒，因此Q得坐标就可表示为(2+ ，4- )。

(2)有了A、Q的坐标，如果分别过A、Q做x轴的垂线，通过构成的直角三角形，不难用x表示出AQ、AP和PQ的值，然后分AP=AQ，PQ=AP两种情况进行讨论，得出x的值。

(3)通过观察G点似乎应该在三角形ABO的中位线上，因此它的轨迹应该是个线段。求出MN所在直线的方程和点G的坐标。根据满足直线方程的坐标的点在直线上验证即可。

2. (江苏省苏州市2008年9分)课堂上，老师将图①中△AOB绕O点逆时针旋转，在旋转中发现图形

的形状和大小不变，但位置发生了变化当△AOB旋转90°时，得到△A1OB1.已知A(4，2)、B(3，0).

(1)△A1OB1的面积是 ; A1点的坐标为( ， ; B1点的坐标为( ， );

(2)课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中△AOB绕AO的中点C(2，1)逆时针旋转90°得到△A′O′B′，设O′B′交OA于D，O′A′交 轴于E.此时A′、O′和B′的坐标分别为(1，3)、(3，-1)和(3，2)，且O′B′ 经过B点.在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与△AOB重叠部分的面积不断变小，旋转到90°时重叠部分的面积(即四边形CEBD的面积)最小，求四边形CEBD的面积;

(3)在(2)的条件之下，△AOB外接圆的半径等于 .

【答案】解：(1)3;-2，4;0，3。

(2)设直线OA： ，∵A(4，2)，∴ ，即 。∴直线OA： 。

设直线 ： ，∵ (1，3)， (3，-1)，

∴ ，解得 。∴直线 ： 。

联立直线OA和 ，得 ，解得 。∴C(2，1)。

在 中令 ，得 。∴E( ，0)。

在 中令 ，得 。∴D(3， )

∴△OCE的底边OE= ，高为1，∴ 。

△ABD的底边BD= ，高为1，∴ 。

△OBA的底边OB=3，高为2，∴ 。

∴ 。

(3) 。

3. (江苏省2009年12分)如图，已知射线 与 轴和 轴分别交于点 和点 .动点 从点 出发，以1个单位长度/秒的速度沿 轴向左作匀速运动，与此同时，动点 从点 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线 的方向作匀速运动.设运动时间为 秒.

(1)请用含 的代数式分别表示出点 与点 的坐标;

(2)以点 为圆心、 个单位长度为半径的 与 轴交于A、B两点(点 在点 的左侧)，连接PA、PB.

①当 与射线 有公共点时，求 的取值范围;

②当 为等腰三角形时，求 的值.

【答案】解：(1)∵ ，∴ 。∴ 。

过点 作 ⊥ 轴于点 ，

∵ ， ，∴ 。

又∵ ，且 ，

∴ ，即 。

∴ 。∴ 。

∴ 。

(2)①当 的圆心 由点 向左运动，使点 到点 时，有 ，即 。

当点 在点 左侧， 与射线 相切时，过点 作 射线 ，垂足为 ，则由 ，得 ，

则 .解得 。

由 ，即 ，解得 。

∴当 与射线 有公共点时， 的取值范围为 。

②(I)当 时，过 作 轴，垂足为 ，有 。

由(1)得， ， ，

∴ 。

又∵ ，∴ ，即 。

解得 。

(II)当 时，有 ，∴ ，解得 。

(III)当 时，有 ，

∴ ，即 。

解得 (不合题意，舍去)。

综上所述，当 是等腰三角形时， ，或 ，或 ，或 。

【考点】动点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直线和圆的位置关系，等腰三角形时的性质，解一元二次方程。

【分析】(1)由 可得 ，从而得到点 的坐标。作点 作 ⊥ 轴于点 ，利用 可得 ，从而得到点 的坐标。

(2)①当 与射线 有公共点时，考虑(I)当 的圆心 由点 向左运动，使点 到点 时， 的取值 ;(II)当点 在点 左侧， 与射线 相切时， 的取值。当 在二者之间时， 与射线 有公共点。

②分 ， ， 三种情况讨论即可。

4. (江苏省苏州市2011年8分)已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点(不与点A、B重合)，连接PA、PB、PC、PD.

(1)如图①，当PA的长度等于 ▲ 时，∠PAB=60°;当PA的长度等于 ▲ 时，△PAD是等腰三角

形;

(2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系(点A即为

原点O)，把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.坐标为(a，b)，试求2 S1 S3-S22的最

大值，并求出此时a，b的值.

【答案】解: (1)2， 。

(2)如图过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为点E，F，延长FP交BC于点G，则 PG⊥BC。

∵点P的坐标为(a，b)，∴PE=b，PG=4-b。

在△PAD、△PAB和△PBC中，S1=2 a，S2=2 b，S3=8-2 a。

又∵AB是半圆的直径，∴∠APB=90°。∴PE2=AE•BE，即b2=a(4-a)。

∴

∴ 。

【考点】圆周角定理, 含30°角的直角三角形的性质, 相似三角形的判定和性质, 等腰三角形的判定和性质,弦径定理, 二次函数的最大值。

【分析】(1)因为AB是直径，所以△PAB 是直角三角形, 要使∠PAB=60°只要

∠PAB=30°，即要PA= AB=2。要使△PAD是等腰三角形即要PA=PD或AD=

PD。要使PA=PD即要点P在弧APB的中点，此时PA=2 ;要使AD=PD，利

用辅助线DO⊥AP交PA于G，交AB于O,易知△DAO ∽△DGA从而用对应边的

相似比可得PA= 。

(2)要求2 S1 S3-S22的最大值，只要先把S1、S2、S3用a，b表示, 再根据PE2=AE BE得到a，b间的关系式 ，从而利用二次函数的最大值概念求得。

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