∵AB为⊙O直径，∠B=300，∴∠ACB=90°，∠A=60°。

∴由弦切角定理知，∠ECB=∠A=60°。

在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=12cm，∴BC=AB•cos∠B= cm。

在Rt△BCD中，∠B=30°，BC= cm，∴CD=BC•sin∠B= cm。

5. (江苏省常州市2002年2分)如图，DE是⊙O直径，弦AB⊥DE，垂足为C，若AB=6，CE=1，则CD= ▲ ;OC= ▲ .

【答案】9;4。

【考点】勾股定理，垂径定理。

【分析】连接OA.根据垂径定理和勾股定理求解：

设圆的半径为x，则OA=x，CD=2x-CE=2x-1，OC=x-CE=x-1。

在Rt△OAC中，根据勾股定理可得： ，解得x=5。

∴CD=10-1=9，OC=5-1=4。

6. (江苏省常州市2002年1分)如果把人的头顶和脚底分别看作一个点，把地球赤道看作一个圆，那么身高2米的汤姆沿着地球赤道环行一周，他的头顶比脚底多行 ▲ 米。

【答案】4π。

【考点】圆的认识。

【分析】根据圆的周长公式进行分析即可得到答案：设地球的半径是R米，则人头绕地球环形时，人头经过的圆的半径是(R+2)米.地球的周长是2πR米，人头环形一周的周长是2π(R+2)米，因而他的头顶比脚底多行2π(R+2)-2πR=4π米。

7. (江苏省常州市2003年3分)如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA=6，PB=4，弧AB的度数为60°，则BC= ▲ ，∠PCA= ▲ 度，∠PAB= ▲ 度。

【答案】5;30;30。

【考点】切割线定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理。

【分析】根据切割线定理得PA2=PB•PC可求得PC与BC的长，根据圆周角定理知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，即∠PCA=30°，最后根据弦切角定理得∠PAB=30°：

∵PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，∴PA2=PB•PC。

∵PA=6，PB=4，∴PC=9。∴BC=5。

∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA=30°。∴∠PAB=30°。

8. (江苏省常州市2004年2分)如图，在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，则BC= ▲ cm, ∠ABD= ▲ °。

【答案】8，45。

【考点】圆周角定理，勾股定理。

【分析】已知AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知：∠ACB=90°。

在Rt△ACB中，利用勾股定理可求得BC的长： 。

又∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=45°。

∴根据同弧所对的圆周角的关系，可求出∠ABD的度数：∠ABD=∠ACD=45°。

9. (江苏省常州市2006年2分)已知扇形的圆心角为120°，半径为2 ，则扇形的弧长是 ▲ ，

扇形的面积是 ▲ 。

【答案】 ; 。

【考点】扇形面积的计算，弧长的计算。

【分析】利用弧长公式和扇形的面积公式即可计算：

扇形的弧长= ( )。扇形的面积 ( )。

10. (江苏省常州市2007年2分)已知扇形的半径为2cm，面积是 ，则扇形的弧长是 ▲ cm，扇形的圆心角为 ▲ ° .

【答案】 ;120。

【考点】扇形的计算。

【分析】由扇形的半径为2cm，面积是 可求得扇形的圆心角： ;从而求出扇形的弧长= (或用扇形面积= ×弧长×半径求得)。

11. (江苏省常州市2008年2分)已知扇形的半径为3cm，扇形的弧长为πcm，则该扇形的面积是

▲ cm2，扇形的圆心角为 ▲ °.

【答案】 ;60。

【考点】扇形的计算。

【分析】直接用扇形的面积=弧长×半径÷2求得面积;代入用圆心角和半径表示的面积公式面积= 即可求得圆心角：

(cm2);

由 ，得扇形的圆心角为 。

12. (江苏省2009年3分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB.若∠ABD=65°，则∠ADC= ▲ .

【答案】25°。

【考点】圆周角定理，平行线的性质，直角三角形两锐角的关系。

【分析】∵CD∥AB，∴∠ADC=∠BAD。

又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。

又∵∠ABD=65°，∴∠ADC=∠BAD=90°-∠ABD=25°。

13. (江苏省2009年3分)已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半径画弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为 ▲ cm(结果保留 ).

【答案】 。

【考点】正六边形的性质，扇形弧长公式。

【分析】如图，连接AC，则由正六边形的性质知，扇形ABmC中，半径AB=1，圆心角∠BAC=600，∴弧长 。

由正六边形的对称性，知，所得到的三条弧的长度之和为弧长 的6倍，即 。

14. (江苏省常州市2010年2分)已知扇形的半径为3㎝，面积为3 ㎝2，则扇形的圆心角是 ▲ ，

扇形的弧长是 ▲ ㎝(结果保留 )。

【答案】120°; 。

【考点】扇形的计算。

【分析】由扇形的半径为3cm，面积是 可求得扇形的圆心角： ;从而求出扇形的弧长= (或用扇形面积= ×弧长×半径求得)。

16. (2011江苏常州2分)已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长 ，则此扇形的半径是 ▲ cm，面积是 ▲ cm2。

【答案】24， .

【考点】扇形弧长，扇形面积公式。

【分析】用扇形弧长和扇形面积公式直接求出：设扇形的半径是r，则由扇形弧长公式有， 。由扇形面积公式有，扇形面积为 。

17. (2011江苏常州2分)如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为C，若AB=6，CE=1，则OC=

▲ CD= ▲ 。

【答案】4，9。

【考点】直径垂直平分弦，勾股定理。

【分析】 。

18. (2012江苏常州2分)已知扇形的半径为3 cm，圆心角为1200，则此扇形的的弧长是 ▲ cm，扇形的面积是 ▲ cm2(结果保留π)。

【答案】 ， 。

【考点】扇形的的弧长和面积。

【分析】直接根据扇形的的弧长和面积公式计算即可：

扇形的的弧长= (cm)，扇形的面积= (cm2)。

三、解答题

1. (2001江苏常州6分)已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BD∥AE交AC的延长线于点D，求证：AB2=AC•AD

【答案】证明：∵BD∥AE，∴∠EAD=∠D。

∵AE切⊙O于点A，∴∠EAD=∠ABC。∴∠ABC=∠D。

∵∠BAC=∠DAB，∴△ACB∽△ABD。∴AB：AD=AC：AB。∴AB2=AC•AD。

【考点】弦切角定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】欲证AB2=AC•AD，即证AB：AD=AC：AB，可以通过证明△ABC∽△ABD得出.而已知∠BAD公共，又可以根据已知条件推出∠ABC=∠D，由两角对应相等的两个三角形相似，得出△ACB∽△ABD，从而得到结论。

2. (2001江苏常州6分)已知：如图，⊙O的弦AD、BC互相垂直，垂足为E，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且siaα= ， cosβ= ，AC=2，求(1)EC的长;(2)AD的长。

3. (江苏省常州市2002年6分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，边AD，BC的延长线相交于点P，直线AE切⊙O于点A，且AB×CD=AD×PC，求证：(1)△ABD∽△CPD; (2)AE∥BP。

【答案】证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD=∠DCP。

又∵AB•CD=AD•PC，∴ 。∴△ABD∽△CPD。

(2)由(1)得∠ABD=∠P。

又∵AE为切线，AD为弦，∴∠EAD=∠ABP，即∠P=∠EAD。

∴AE∥BP。

【考点】圆内接四边形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定。

【分析】(1)已知AB•CD=AD•PC，即 ，所以要证△ABD∽△CPD，只需证得两组对应边的夹角相等即可，而这组角可通过圆内接四边形的性质求得。

(2)在(1)的基础上，可求得∠ABD=∠P;根据弦切角定理可求得∠EAD=∠ABD，即∠EAD=∠P;内错角相等，可证得两直线平行。

4. (江苏省常州市2003年6分)如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，E是AB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连结AF，与直线CD交于点G。

求证：(1)∠ACD=∠F; (2)AC2=AG•AF。

【答案】证明：(1)连接BC，则∠ACB=90°，∠ABC=∠F。

∵∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD+∠ABC=90°，

∴∠ACD=∠ABC。∴∠ACD=∠F。 (2)由(1)得出的∠ACD=∠F，

又∵∠CAG=∠FAC，∴△ACG∽△AFC。

∴ 。∴AC2=AG•AF。

【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质

【分析】(1)本构建相等的中间角通过转换来求解，连接BC，根据圆周角定理得∠ABC=∠F，根据同角的余角相等得∠ACD=∠ABC，由此可得证。

(2)要证AC2=AG•AF，即要AC：AG=AF：AC即可，只要△ACG∽△AFC。已知了一个公共角，而(1)中又证得了∠ACD=∠F，由此可得出两三角形相似，根据相似三角形即可得出所求的比例关系。

5. (江苏省常州市2003年8分)如图，正三角形ABC的边长为1cm，将线段AC绕点A顺时针旋转120°至AP1，形成扇形D1;将线段BP1绕点B顺时针旋转120°至BP2，形成扇形D2;将线段CP2绕点C顺时针旋转120°至CP3，形成扇形D3;将线段AP3绕点A顺时针旋转120°至AP4，形成扇形D4……。设 为扇形Dn的弧长(n=1，2，3……),

回答下列问题：

(1) 按照要求填表：

n 1 2 3 4

(2) 根据上表所反映的规律，试估计n至少为何值时，扇形Dn的弧长能绕地球赤道一周?(设地球赤道

半径为6400km)。

【答案】解：(1)填表如下：

n 1 2 3 4

(2)根据上述规律可得： ，解得n=2.98×108。

∴估计n=2.98×108时，扇形Dn的弧长能绕地球赤道一周。

【考点】分类归纳(图形的变化类)，弧长的计算，等边三角形的性质。

【分析】(1)从图中可以找出规律，弧长的圆心角不变都是120度，变化的是半径，而且第一次是1，第二次是2，第三次是3，依此下去，然后按照弧长公式计算：

; 。

(2)由 和地球赤道半径为6400km列方程求解，注意单位一致。

6. (江苏省常州市2004年7分)如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，求AB的长。

【答案】解：∵AB=AC，∴ 。∴∠ABC=∠D。

又∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB。

∴ ，即AB2=AE•AD=2×6=12。

∴AB= 。

【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质

【分析】观察发现所求的线段和已知的线段能够放到两个三角形中，即△ABE和△ADB。根据等弧所对的圆周角相等和公共角即可证明两个三角形相似，再根据相似三角形的对应边的比相等得到要求的线段的长。

7. (江苏省常州市2005年6分)如图，有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔.现在只有一块无刻度单位的直角三角板(斜边大于工艺品的直径)，请你用两种不同的方法确定点D的位置(画出图形表示)，并且分别说明理由.

理由是：

【答案】解：画图如下

方法一：如图①，过点O作TH的垂线L交TH于D，则点D就是TH的中点。

依据是垂径定理。

方法二：如图②，分别过点T、H画HC⊥TO，TE⊥HO，HC与TE相交于点F，过点O、F作直线L交HT于点D，则点D就是HT的中点。

由画图知，Rt△HOC≌Rt△TOE(AAS)，易得HF=TF。

又∵OH=OT，

∴点O、F在HT的中垂线上，所以HD=TD 。

【考点】垂径定理，全等三角形的判定和性质，线段中垂线的判定和性质。

【分析】可以根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦;也可以根据和线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。还可过点T，H作圆O的切线，两切线的交点G，连接OG的直线L与HT的交点D，也是HT的中点(如图3)。

8. (2012江苏常州10分)在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m(m>0)。以点P为圆心， 为半径的圆交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于C、D两点(D点在点C的上方)。点E为平行四边形DOPE的顶点(如图)。

(1)写出点B、E的坐标(用含m的代数式表示);

(2)连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q(点Q异于点D)，连接EQ、BQ。试问线段BQ与线段EQ的长是否相等?为什么?

(3)连接BC，求∠DBC-∠DBE的度数。

【答案】解：(1)B(3m，0)，E(m，4m)。

(2)线段BQ与线段EQ的长相等。理由如下：

由(1)知B(3m，0)，E(m，4m)，

∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称，

∴D(0，3m)。

∴ ， ，

。

∴ 。∴△BDE是直角三角形。

∴BE是△BDE的外接圆的直径。

设△BDE的外接圆的圆心为点G，则由B(3m，0)，E(m，4m)得G(2m，2m)。

过点G作GI⊥DG于点I，则I(0，2m)。

根据垂径定理，得DI=IQ ，∴Q(0，m)。

∴ 。

∴BQ=EQ。

(3)延长EP交x轴于点H，则EP⊥AB，BH=2m。

根据垂径定理，得AH=BH=2m，AO= m。

根据圆的对称性，OC=OA= m。

又∵OB=3m， ， ，

∴ 。 。

又∵∠COB=∠EDB=900，∴△COB∽△EDB。∴∠OBC=∠DBE。

∴∠DBC-∠DBE=∠DBC-∠OBC=∠DBO。

又∵OB=OC，∴∠DBO=450。∴∠DBC-∠DBE=450。

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