【答案】解：设 ，则原方程为 。

解之得，y=1。

则 。

解之得，x=1或 。

经检验，x=1或 是原方程的根。

∴原方程的解为x=1或 。

【考点】换元法解分式方程, 因式分解法解一元二次方程。

【分析】此题可用换元法解答，设 ，则原方程为 ，求得y的值，再代入 解答求得x的值即可。

4. (江苏省南通市2003年7分)设方程组 的解是 和 ，

求 和y1•y2的值.

【答案】解：把 代入方程 ，得 ，即 。

∴ 。

∴ ，

。

【考点】高次方程，一元二次方程根与系数的关系。

【分析】首先运用代入消元法从方程组中得到关于x的方程，进一步根据一元二次方程根与系数的关系进行求解则可。

5. (江苏省南通市2003年7分)某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到B市销售，现有三家运输公司可供选择，这三家运输公司提供的信息如下：

运输单位 运输速度(km/h) 运输费用(元/千米) 包装与装卸时间(h) 包装与装卸费用(元)

甲公司 60 6 4 1500

乙公司 50 8 2 1000

丙公司 100 10 3 700

解答下列问题：

(1)若乙、丙两家公司的包装、装卸及运输的费用总和恰是甲公司的2倍，求A，B两市间的距离;(精确到个位)

(2)如果A，B两市的距离为s(km)，且这批水果在包装、装卸以及运输过程中的损耗为300元/小时，那么，要使果品公司支付的总费用(包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和)最小，应选择哪家运输公司?

【答案】解：(1)设A，B两市间的距离为x(km)，则三家运输公司包装，装卸及运输的费用分别为：甲公司(6x+1500)元，乙公司(8x+1000)元，丙公司(10x+700)元，

依题意得，(8x+1000)+(10x+700)=2(6x+1500)，

解得x=216 ≈217(km)。

∴A，B两市间的距离约为217km。

(2)设选择三家运输公司所需的总费用分别为y1，y2，y3，由于三家运输公司包装，装卸及运输所需的时间分别为：甲公司(s 60 +4)h，乙公司(s 50 +2)h，丙公司(s 100 +3)h，

∴y1=6s+1500+(s 60 +4)×300=11s+2700，

y2=8s+1000+(s 50 +2)×300=14s+1600，

y3=10s+700+(s 100 +3)×300=13s+1600。

∵s>0，∴y2>y3恒成立。

∴只要比较y1与y3的大小：y1-y3=-2s+1100。

∵①当s<550(km)时，y1>y3，

又∵y2>y3，∴此时选丙公司较好.

②当s=550(km)时，y2>y1=y3，∴此时选择甲公司或丙公司较好。

③当s>550(km)时，y2>y3>y1，∴此时选择甲公司较好。

【考点】一元一次方程和不等式的应用。

【分析】(1)设A，B两市间的距离为x(km)，则三家运输公司包装，装卸及运输的费用分别为：甲公司(6x+1500)元，乙公司(8x+1000)元，丙公司(10x+700)元，根据“乙、丙两家公司的包装、装卸及运输的费用总和恰是甲公司的2倍”列方程求解保留到个位即可。

(2)设选择三家运输公司所需的总费用分别为y1，y2，y3，由于三家运输公司包装，装卸及运输所需的时间分别为：甲公司(s60 +4)h，乙公司(s 50 +2)h，丙公司(s 100 +3)h，分别列出y1，y2，y3的函数关系式，比较即可求解.注意的是比较y1与y3的大小可用差的形式比较，差的结果因s的取值有所不同，故应该分类讨论。

6. (江苏省南通市2004年6分)解方程组

【答案】解：

将①代入②化简得x2+x-2=0，解得x1=1，x2=-2。

分别将x1=1，x2=-2代入①，得y1=2，y2=-1。

∴原方程的解为. ， 。

【考点】高次方程。

【分析】根据题中方程的特点，用代入法比较简单，将①代入②，转化为一元二次方程来解。

7. (江苏省南通市2004年8分)已知关于x的一元二次方程

⑴请选取一个你喜爱的m的值，使方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性;

⑵设x1，x2是⑴中所得方程的两个根，求x1x2+x1+x2的值。

【答案】解：(1)取m=1，则原方程变为：x2+3x=0。

∵△=9>0，∴符合两个不相等的实数根。

(2)∵x1+x2=-3，x1x2=0，

∴x1x2+x1+x2=0-3=-3。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。

【分析】(1)选取m的值，只要使方程的判别式△>0，方程有两个不相等的实数根。

(2)利用根与系数关系即可求得两根的和与两根的积，再代入x1x2+x1+x2即可求解。

8. (江苏省南通市大纲卷2005年10分)已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 、 ,且 .

(1)求证： ;

(2)试用 的代数式表示 ;

(3)当 时,求 的值.

【答案】解：(1)证明：∵关于x的方程 有两个不相等的实数根，

∴△ 。∴ 。

又∵-k2≤0，∴n<0。

(2)由根与系数的关系，得 ，

解关于 的方程 ，

得 =3，或 =5.

当 =3，即 +( )=3时，得 =3-k;

当 =5，即 +( )=5时，得 =5-k。

(3)∵ ，n=-3，∴k2<4，即：-2

原方程可化为： ，

把 =3-k代入，得到k2-3k+2=0，解得k1=1，k2=2(不合题意，舍去)。

把 =5-k代入，得到3k2-15k+22=0，△=-39<0，所以此时k不存在。

∴k=1。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程的解和解一元二次方程。

【分析】(1)方程有两个不相等的实数根，则△>0，建立关于n，k的不等式，结合不等式的性质，证出结论。

(2)根据根与系数的关系，把x1+x2=k代入已知条件(2x1+x2)2-8(2x1+x2)+15=0，即可用k的代数式表示x1。

(3)首先由(1)知 ，又n=-3，求出k的范围;再把(2)中求得的关系式代入原方程，即可求出k的值。

9. (江苏省南通市课标卷2005年7分)解方程 .

【答案】解：去分母，得x―3-(4-x)=-1，

去括号、整理，得2 x=6，

解得x=3，

检验：当x=3时，4-x≠0.。

∴原方程的解是x=3。

【考点】解分式方程。

【分析】本题的最简公分母是(4-x)，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解。

10. (江苏省南通市课标卷2005年7分)海门市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场，年销售额突破百亿元.

2005年5月20日，该家纺城的羽绒被和羊毛被这两种产品的销售价如下表：

品 名 规格(米) 销售价(元/条)

羽绒被 2×2.3 415

羊毛被 2×2.3 150

现购买这两种产品共80条，付款总额不超过2万元.问最多可购买羽绒被多少条?

【答案】解：设购买羽绒被x条，则购买羊毛被(80-x)条，

根据题意，得 415x+150(80-x)≤20000，

整理，得265x≤8000，解之，得x≤ 。

∵x为整数，∴x的最大整数值为30。

答：最多可购买羽绒被30条。

【考点】一元一次不等式的应用

【分析】设购买羽绒被x条，则购买羊毛被(80-x)条，根据付款总额不超过2万元就可以列出不等式，解出x。x取整数即可。

11. (江苏省南通市大纲卷2006年5分)解不等式组

【答案】解：解不等式 ，得x>1，

解不等式 ，得x<2，

所以不等式组的解集是1

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)。

12. (江苏省南通市大纲卷2006年6分)张栋同学到百货大楼买了两种型号的信封，共30个，其中买A型号的信封用了1元5角，买B型号的信封用了1元2角，B型号的信封每个比A型号的信封便宜2分.两种型号的信封的单价各是多少?

【答案】解：设B型号的信封的单价为x分，则A型号的信封的单价为(x+2)分，

根据题意，得 ，

去分母，整理得 .

解这个方程，得x1=8，x2=-1。

经检验x1=8，x2=-1都是原方程的根.但是负数不合题意，舍去。

所以 x=8， x+2=10。

答：A型号的信封的单价为1角，B型号的信封的单价为8分。

【考点】分式方程的应用。

【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：

A型号的信封+B型号的信封=30个

+ = 30。

其中，还需用到的等量关系是B型号的信封每个比A型号的信封便宜2分。

13.(江苏省南通市大纲卷2006年7分)已知关于x的一元二次方程x2﹣(m﹣1)x+m+2=0，

(1)若方程有两个相等的实数根，求m的值;

(2)若方程的两实数根之积等于m2﹣9m+2，求 的值.

【答案】解：(1)∵△=(m-1)2-4×(m+2)=m2-6m-7。

又∵因为方程有两个相等的实数根，∴m2-6m-7=0。

解得 m1=-1，m2=7。

(2)由题意可知，m+2= m2-9m+2。

解得m1=0，m2=10。

∵当m=0时，△<0，原方程没有实数根，∴m=10。

∴ 。

【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，因式分解法解一元二次方程。

【分析】(1)由于方程有两个相等的实数根，所以可据根的判别式来确定m的值。

(2)根据根与系数的关系来确定m的值，最后要根据判别式来取舍m的值，最后求出 的值。

14. (江苏省南通市课标卷2006年7分)已知小明骑车和步行的速度分别为240米/分、80米/分，小红每次从家步行到学校所需时间相同.请你根据小红和小明的对话内容(如图)，求小明从家到学校的路程和小红从家步行到学校所需的时间.

【答案】解：设小明同学从家到学校的路程为x米，小红从家到学校所需时间是y分钟。

由题意，得 ，解得 。

答：小明同学从家到学校的路程为720米，小红从家到学校所需时间是7分钟。

【考点】二元一次方程组的应用。

【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“都步行时小红从家到校比小明少2分钟”和“小明骑车，小红步行时，小明比小红少用4分钟”。根据这两个等量关系可列出方程组。

15. (江苏省南通市2007年9分)已知2a-3x+1=0，3b-2x-16=0，且a≤4

【答案】解：由2a-3x+1=0，3b-2x-16=0，得 。

∵a≤4

由(1)，得x≤3，由(2)，得x>-2。

∴x的取值范围是-2

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】在两个关系式中，共有三个未知量，都有x，且a≤4

16. (江苏省南通市2008年6分)解分式方程 .

【答案】解：方程两边同乘以x(x+3)(x-1)，得5(x-1)-(x+3)=0，

解这个方程，得 。

检验：把 代入最简公分母，得2×5×1=10≠0。

∴原方程的解是 。

【考点】解分式方程

【分析】因为x2-x=x(x-1)，x2+3x=x(x+3)，所以可确定方程的最简公分母为：x(x+3)(x-1)，方程两边乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解。

17. (江苏省南通市2008年7分)某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村

饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助.2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水

工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元.

(1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率;

(2)从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元?

【答案】解：(1)设A市投资“改水工程”年平均增长率是x，则 ，

解之，得 或 (不合题意，舍去)。

∴A市投资“改水工程”年平均增长率为40%。

(2)∵600+600×1.4+1176=2616(万元)，

∴A市三年共投资“改水工程”2616万元。

【考点】一元二次方程的应用(增长率题)

【分析】(1)设A市投资“改水工程”年平均增长率是x，因为2008年投入800万元，2010年投资1800

万元，所以可列方程800(1+x)2=1800，解之即可求出答案。

(2)因为2008年投资800万元，2009年投资800(1+x)万元，2010年投资1800万元，求出三

者的和即可。

18. (江苏省2009年8分)一辆汽车从A地驶往B地，前 路段为普通公路，其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h.

请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程.

【答案】解： 解法一 问题：普通公路和高速公路各为多少千米?

解：设普通公路长为 km，高度公路长为 km。

根据题意，得 ，解得 。

答：普通公路长为60km，高速公路长为120km。

解法二 问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时?

解：设汽车在普通公路上行驶了 h，高速公路上行驶了 h。

根据题意，得 ，解得 。

答：汽车在普通公路上行驶了1h，高速公路上行驶了1.2h。

(本题答案不唯一)。

【考点】二元一次方程组应用。

【分析】根据题意，提出问题并解答。(本题答案不唯一)。

19. (江苏省南通市2010年8分)(1)将一批重490吨的货物分配给甲、乙两船运输.现甲、乙两船已分别运走其任务数的 、 ，在已运走的货物中，甲船比乙船多运30吨.求分配给甲、乙两船的任务数各多少吨?

(2)自编一道应用题，要求如下：

①是路程应用题.三个数据100， ， 必须全部用到，不添加其他数据.

②只要编题，不必解答.

【答案】解：(1)设分配给甲、乙两船的任务数分别是x吨、y吨，

则 ，解得 。

答：分配给甲、乙两船的任务数分别是210吨、280吨.

(2)甲、乙两人相距100km，现甲、乙两人已分别走了其走过路程的 ， ，在已走的路程中，甲比乙多走5km，分别求甲、乙两人的行驶路程。(答案不唯一)

【考点】方程(组)的应用，编题目。

【分析】(1)本题有两个相等关系：一是甲船运量-乙船运量=30吨;二是甲船运量+乙船运量=490吨。于是可以引进未知数，设分配给甲、乙两船的任务数分别是x吨和y吨，列出一元一次方程或二元一次方程组求解。

(2)可设计为行程问题中的相遇问题。

20. (江苏省南通市2011年8分)求不等式组 的解集，并写出它的整数解.

【答案】解：由①，得 ≥1， 由②，得 <4。

所以不等式组的解集为 。它的整数解为1，2，3。

【考点】解-元一次不等式组。

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)。然后求出它的整数解。

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