【分析】根据题意，将特殊角的三角函数值代入即得答案。

2. (2001江苏常州5分)已知：如图，点B、E、C、F 在同一条直线上，

AB=DE，AC=DF，BE=CF。

求证：∠A=∠D。

【答案】证明：∵BE=CF，∴BC=EF，

又∵AB=DE，AC=DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)。∴∠A=∠D。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】由BE=CF可证得BC=EF，又有AB=DE，AC=DF，根据SSS证得△ABC≌△DEF⇒∠A=∠D。

3. (江苏省常州市2002年8分)如图，已知测速站P到公路L的距离PO为40米，一辆汽车在公路L上行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为2秒，并测得∠APO=600，∠BPO=300，计算此车从A到B的平均速度为每秒多少米(结果保留四个有效数字)，并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度。

4. (江苏省常州市2003年4分)不用计算器求值：

【答案】解：原式= ,

【考点】特殊角的三角函数值，二次根式化简。

【分析】将题中特殊角的三角函数值代入原式，化简可得答案。

5. (江苏省常州市2004年9分)如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼。甲船以每小时 千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速(匀速)沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇。

(1)甲船从C处追赶上乙船用了多少时间?

(2)甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米?

【答案】解：(1)如图，过A作AD⊥BC于点D.

∵∠EAC=30°，∠HAB=45°，

∴∠CAB=60°+45°=105°。

∵CG∥EA，∴∠GCA=∠EAC=30°。

∵∠FCD=75°，

∴∠BCG=15°，∠BCA=15°+30°=45°。

∴∠B=180°-∠BCA-∠CAB=30°。

在Rt△ACD中，∠ACD=45°，AC= ，

∴AD=AC•sin45°= (千米)，CD=AC•cos45°=30(千米)。

在Rt△ABD中，∠B=300，则AB=2AD=60千米，BD= 千米。

∴甲船从C处追赶上乙船的时间是：60÷15-2=2(小时)。

(2)∵BC=CD+BD=30+ 千米，

∴甲船追赶乙船的速度是(30+ )÷2=15+ (千米/小时)。

答：甲船从C处追赶上乙船用了2小时，甲船追赶乙船的速度是每小时15+ 千米。

【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】(1)根据方向角可以得到∠BCA=45°，∠B=30°，过A作AD⊥BC于点D，在Rt△ACD中，根据三角函数就可求得AD的长，再在Rt△ABD中，根据三角函数即可求得AB的长，就可求得时间。

(2)求出BC的长，根据(1)中的结果求得时间，即可求得速度。

6. (江苏省常州市2005年7分)如图，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF也是等边三角形.

(1)除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的;

(2)你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到?写出变化过程.

7. (江苏省常州市2006年7分)已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900，D为AB边上一点，

求证：(1)△ACE≌△BCD;(2)AD2+AE2=DE2

【答案】证明：(1)∵∠ACB=∠DCE=900，

∴∠ACD+∠BCD= ∠ACD+∠ACE。

∴∠BCD= ∠ACE。

∵BC=AC，DC=EC ,

∴ △BCD≌△ACE(SAS).

(2)∵∠ACB=900， BC=AC， ∴∠B=∠CAB=450。

∵ △BCD≌△ACE，∴∠B=∠CAE=450 。

∴∠DAE=∠CAE+∠BAC= 900。∴AD2+AE2=DE2 。

【考点】等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。.

【分析】(1)由等腰直角三角形的性质和∠ACD+∠BCD= ∠ACD+∠ACE，易由SAS证得结果。

(2)由(1)可证△ADE是直角三角形，由勾股定理即可证得结果。

8. (江苏省常州市2007年7分)已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形.

求证：(1)△AEF≌△CDE;(2)△ABC为等边三角形.

【答案】证明：(1)∵BF=AC，AB=AE(已知)，∴FA=EC(等量代换)。

∵△DEF是等边三角形(已知)，∴EF=DE(等边三角形的性质)。

又∵AE=CD(已知)，∴△AEF≌△CDE(SSS)。

(2)由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC(对应角相等)，

∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF(等量代换)，

△DEF是等边三角形(已知)，

∴∠DEF=60°(等边三角形的性质)。∴∠BCA=60°(等量代换)。

由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，

∵∠DEC+∠FEC=60°，∴∠EFA+∠FEC=60°。

又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°。

∴△ABC中，AB=BC(等角对等边)。

∴△ABC是等边三角形(等边三角形的判定)。

【考点】全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质三角形外角性质。

【分析】(1)关键是证出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，两两相加可得.再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE。

(2)有(1)中的全等关系，可得出∠AFE=∠CED，再结合△DEF是等边三角形，可知∠DEF=60°，从而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°.因而△ABC是等边三角形。

9. (江苏省常州市2008年7分)已知:如图，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE.

求证:AC=DE.

【答案】证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。

又∵AB=AD，AC=AE，∴△ABC≌△DAE(SAS)。

∴BC=DE。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】先通过∠BAD=∠CAE得出∠BAC=∠DAE，从而证明△ABC≌△DAE，得到BC=DE。

10. (江苏省常州市2008年8分)如图，港口B位于港口O正西方向120海里外，小岛C位于港口O北

偏西60°的方向。一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60海里/小时的速度驶向小岛C，在小岛C用1小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送去.

(1) 快艇从港口B到小岛C需要多少时间?

(2) 快艇从小岛C出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇?

【答案】解：(1)由题意可知：∠CBO=60°，∠COB=300。

∴∠BCO=900。

在Rt△BCO中，

∵OB=120，∴BC=60，OC= 。

∴快艇从港口B到小岛C的时间为：60÷60=1(小时)。 (2)设快艇从C岛出发后最少要经过x小时才能和考查船在OA上的D处相遇，

则CD=60x。

∵考查船与快艇是同时出发，∴考查船从O到D行驶了(x+2)小时。

∴OD=20(x+2)。

过点C作CH⊥OA，垂足为点H，

在Rt△OHC中，∵∠COH=30°，OC= ，

∴CH= ，OH=90。

∴DH=OH-OD=90-20(x+2)=50-20x.

在Rt△CHD中，CH2+DH2=CD2，

∴( )2+(50-20x)2=(60x)2，

整理得：8x2+5x-13=0。

解得：x1=1，x2= 。

∵x>0，∴x=1。

答：快艇后从小岛C出发后最少需要1小时才能和考查船相遇。

【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)，

【分析】(1)要求B到C的时间，已知其速度，则只要求得BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间。

(2)过C作CH⊥OA，垂足为H。设快艇从C岛出发后最少要经过x小时才能和考查船在OA上的D处相遇，则CD=60x，OD=20(x+2).根据直角三角形的性质可解得x的值，从而求得快艇从小岛C出发后和考查船相遇的最短的时间。

11. (江苏省2009年10分)如图，在航线 的两侧分别有观测点A和B，点A到航线 的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处.现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行， 5min后该轮船行至点A的正北方向的D处.

(1)求观测点B到航线 的距离;

(2)求该轮船航行的速度(结果精确到0.1km/h).(参考数据： ， ，

， )

【答案】解：(1)设AB与 交于点O。

在 中，∠OAD=600，AD=2

∴ 。

又∵AB=10，∴OB=AB-OA=6。

在 中，∠OBE=∠OAD=600，

∴ (km)。

∴观测点B到航线 的距离为3km。

(2)在 中， ，

在 中， ，

∴DE=OD+OE= 。

在 中，∠CBE=760，BE=3，∴ 。

∴ (km)。

∵ ，∴ (km/h)。

答：该轮船航行的速度约为40.6km/h。

【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】(1)解 和 即可求得观测点B到航线 的距离。

(2)解 、 和 ，求得CD的长，即可根据路程、时间和速度的关系求得该轮船航行的速度。

12. (江苏省常州市2010年5分)如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD=CE，∠DBC=∠ECB。

求证：AB=AC

【答案】证明：∵BD=CE，∠DBC=∠ECB，BC=CB，

∴△BCE≌△CBD(SAS)。 ∴∠ACB=∠ABC。

∴AB=AC。

【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。

【分析】要想说明一个三角形是等腰三角形，只要能找到两个相等的角或两条相等的边即可，由已知用SAS可求得△BCE≌△CBD，从而根据全等三角形对应角相等的性质得∠ACB=∠ABC。由等角对等边即得证。

13. (2011江苏常州5分)已知：如图，在△ABC是，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC

求证：AB=AC

【考点】全等三角形，等腰三角形。

14. (2012江苏常州5分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，

求证：∠DBC=∠DCB。

【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。

又∵AB=AC，AD=AD，∴△BAD≌△CAD(SAS)。

∴BD=CD。∴∠DBC=∠DCB。

【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。

【分析】由已知，根据SAS可证△BAD≌△CAD，从而根据全等三角形对应边相等的性质可得BD=CD，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠DBC=∠DCB。

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