1. (2001江苏苏州6分)如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线。在 上任取一点C(点C与A、B不重合)，过点C作半圆的切线CD交AP于点D;过点C作CE⊥AB，垂足为E.连接BD，交CE于点F。

(1)当点C为 的中点时(如图1)，求证：CF=EF;

(2)当点C不是 的中点时(如图2)，试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论。

【答案】解：(1)证明：∵DA是切线，AB为直径，∴DA⊥AB。

∵点C是 的中点，且CE⊥AB，∴点E为半圆的圆心。

又∵DC是切线，∴DC⊥EC。

又∵CE⊥AB，∴四边形DAEC是矩形。

∴CD∥AO，CD=AD。∴ ，即EF= AD= EC。

∴F为EC的中点，CF=EF。

(2)CF=EF保持不变。证明如下：

如图，连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，

∵AD、DC是半圆O的切线，∴DC=DA。

∴∠DAC=∠DCA。

∵AB是直径，∴∠ACB=90°。∴∠ACG=90°。

∴∠DGC+∠DAC=∠DCA+∠DCG=90°。

∴∠DGC=∠DCG。

∴在△GDC中，GD=DC。

∵DC=DA，∴GD=DA。

∵AP是半圆O的切线，∴AP⊥AB。

又∵CE⊥AB，∴CE∥AP。∴△BCF∽△BGD，△BEF∽△BAD。

∴ 。

∵GD=AD，∴CF=EF。

【考点】探究型，圆的综合题，切线的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由题意得DA⊥AB，点E为半圆的圆心，DC⊥EC，可得四边形DAEC是矩形，即可得出 ，即可得EF与EC的关系，可知CF=EF。

(2)连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，由切线长定理可得DC=DA，∠DAC=∠DCA，由角度代换关系可得出∠DGC=∠DCG，即可得GD=DC=DA，由已知可得CE∥AP，所以 ，即可知CF=EF。

2. (江苏省苏州市2002年7分)已知：⊙ 与⊙ 外切于点 ，过点 的直线分别交⊙ 、⊙ 于点 、 ， ⊙ 的切线 交⊙ 于点 、 ， 为⊙ 的弦，

(1)如图(1)，设弦 交 于点 ，求证： ;

(2)如图(2)，当弦 绕点 旋转，弦 的延长线交直线B 于点 时，试问： 是否仍然成立?证明你的结论。

【答案】解：(1)证明：连结 ，过点 作⊙ 与⊙ 的公切线 。

∴ 。

又∵ 是⊙ 的切线，∴ 。

又∵ ，∴ 。

又∵ ，∴ 。

∴ ，即 。

(2)仍成立。证明如下：

连结 ，过点 作⊙ 和⊙ 的公切线 。

∵ 是⊙ 的切线，∴ 。∴ 。

∴ 。

又∵ ，∴ 。

又∵ ，∴ 。

∴ ，即 。

【考点】相切两圆切线的性质，弦切角定理，切线长定理，等腰三角形的性质，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)连结 ，过点 作⊙ 与⊙ 的公切线 。根据弦切角定理可得 ，由 也是⊙ 的切线，根据切线长定理可得 ，从而根据等腰三角形等边对等角的性质，得到 ，由对顶角相等的性质，得到 。又 ，从而 ，根据相似三角形的性质即可证明。

(2)同(1)可以证明。

3. (江苏省苏州市2003年7分)如图，已知AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，AC=10，BC=6，求AB和CD的长。

【答案】解：∵AB是⊙O直径，BC是⊙O的切线，∴BC⊥AB。

∴在Rt△ABC中， 。

∵CA是⊙O的割线，∴CD•CA=BC2。

∴CD×10=62，∴CD=3.6。

【考点】切线的性质，切割线定理，勾股定理。

【分析】由AB是⊙O直径，BC是⊙O的切线可以得到BC⊥AB，利用勾股定理在Rt△ABC中可以求出AB的长，又由CA是⊙O的割线看得到BC2=CD•CA，根据这个等式可即可求出CD。

【没有学习切割线定理的，可连接BC，根据直径所对圆周角是直角的圆周角定理知∠ADB=900，从而根据△BCD∽△ACB得对应边成比例而求出CD。】

4. (江苏省苏州市2003年7分)如图1，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在 上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于点F、M。

(1)求∠COA和∠FDM的度数;

(2)求证：△FDM∽△COM;

(3)如图2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在 上，仍作直线CD、ED，分别交直

线AB于点F、M。试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM?证明你的结论。

【答案】解：(1)∵AB为直径，CE⊥AB，∴ ，CG=EG。

在Rt△COG中，∵OG= OC，∴∠OCG=30°。∴∠COA=60°。

又∵∠CDE的度数= 的度数= 的度数=∠COA的度数=60°，

∴∠FDM=180°-∠CDE=120°。

(2)证明：∵∠COM=180°-∠COA=120°，∴∠COM=∠FDM。

在Rt△CGM和Rt△EGM中， ，∴Rt△CGM≌Rt△EGM(HL)。

∴∠GMC=∠GME。

又∵∠DMF=∠GME，∴∠GMC=∠DMF。∴△FDM∽△COM。 (3)结论仍成立。证明如下：

∵∠EDC的度数= 的度数= 的度数=∠COA的度数，

∴∠FDM=180°-∠COA=∠COM。

∵AB为直径，∴CE⊥AB。

在Rt△CGM和Rt△EGM中， ∴Rt△CGM≌Rt△EGM(HL)。

∴∠GMC=∠GME。∴△FDM∽△COM。

【考点】圆周角定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角的关系，平角定义，直角三角形全等的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定。

【分析】(1)由于CG⊥OA，根据垂径定理可得出， ，那么根据圆周角定理可得出∠CDE=∠COA，在Rt△COG中，可根据OG是半径的一半得出∠AOC是60°，那么就能得出∠FDM=180°-∠CDE=120°。

(2)在(1)中根据垂径定理得出OA是CE的垂直平分线，那么△CMG和△BMG就应该全等，可得出∠CMA=∠EMG，也就可得出∠CMO=∠FMD，在(1)中已经证得∠AOC=∠EDC=60°，那么∠COM=∠MDF，因此两三角形相似。

(3)可按(2)的方法得出∠DMF=∠CMO，关键是再找出一组对应角相等，还是用垂径定理来求，根据垂径定理我们可得出 ，那么∠AOC=∠EDC，根据等角的余角相等即可得出∠COM=∠FDM，由此可证出两三角形相似。

5. (江苏省苏州市2004年6分)如图，⊙O2与⊙O1 的弦BC切于C点，两圆的另一个交点为D，动点A在⊙O1，直线AD与⊙O2交于点E，与直线BC交于点 F 。

(1)如图1，当A在弧CD上时，求证：

①△FDC∽△FCE;

② AB∥EC ;

(2)如图2，当A在弧BD上时，是否仍有AB∥EC?请证明你的结论。

【答案】解：(1)证明：①∵BC为⊙O2的切线，∴∠D=∠FCE。

又∵∠F=∠F，∴△FDC∽△FCE。

②在⊙O1中，∠B=∠D，∠D=∠FCE，

∴∠FCE=∠B。∴AB∥EC。 (2)仍有AB∥EC。证明如下：

∵四边形ABCD是⊙O1的内接四边形，∴∠FBA=∠FDC。

∵BC为⊙O2的切线，∴∠FCE=∠FDC。∴∠FCE=∠FBA。∴AB∥EC。

【考点】弦切角定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定，平行线的判定。

【分析】(1)①在△FDC与△FCE中，由弦切角定理得：∠D=∠FCE，已知公共角∠F，由此可判定两三角形相似。②根据平行线的判定，只需证明∠FCE=∠B;①中证得∠D=∠FCE，而⊙O1中，根据圆周角定理，可得∠D=∠B，将等角代换可得出∠B=∠FCE，由此得证。

(2)根据平行线的判定，只需证明∠FCE=∠FBA，思路同(1)②，根据圆内接四边形的性质，得∠FBA=∠FDC;由弦切角定理，得∠FCE=∠FDC，将等角代换后可证得所求的结论。

6. (江苏省苏州市2005年6分)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO。

(1)求证：△ADB∽△OBC;

(2)若AB=2，BC= ，求AD的长。(结果保留根号)

【答案】解：(1)∵AD∥OC，∴∠A=∠COB。

又∵AB是直径，BC是⊙O的切线，∴∠D=∠OBC=90°。∴△ADB∽△OBC。 (2)在Rt△OBC中，OB= AB=1，BC= ，∴OC=

∵△ADB∽△OBC，∴ ，即 。∴ 。

【考点】相似三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的性质，勾股定理。

【分析】(1)根据平行线的性质得∠A=∠COB，根据直径所对的圆周角是直角得∠D=∠OBC，就可以判定△ADB∽△OBC。

(2)根据相似三角形的对应边成比例可以计算出OC的长。

7. (江苏省苏州市2006年7分) 如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC上运动.过点D作DE∥BC.DE交直线AB于点E，连结BD.

(1)求证：∠ADB=∠E; (2)求证：AD2=AC•AE;

(3)当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE请你利用图②进行探索和证明

【答案】解：(1)证明：∵DE∥BC，∴∠AB C=∠E。

∵∠ADB，∠C都是AB所对的圆周角，∴∠ADB=∠C。

又∠ABC=∠C，∴∠ADB=∠E。 (2)证明：∵∠ADB=∠E，∠BAD=∠DAE，∴△ADB∽△AED。

∴ ，即AD2=AB•AE。

又∵∠ABC=∠C，∴AB=AC，∴AD2=AC•AE。

(3)点D运动到弧BC中点时，△DBE∽△ADE。证明如下：

∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC。

∵∠DBC所对的是弧 ，∠EAD所对的是弧 ，

且 ，

∴∠DBC=∠EAD。∴∠EDB=∠EAD。

又∠DEB=∠AED，∴△DBE∽△ADE。

【考点】圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由DE∥BC，可得∠ABC=∠E;由∠ADB，∠C都是AB所对的圆周角，得∠ADB=∠C;又∠ABC=∠C，因此∠ADB=∠E。

(2)由∠ABC=∠C得AB=AC;由△ADB∽△AED得 ;即AD2=AB•AE=AC•AE。

(3)点D运动到弧BC中点时，△DBE∽△ADE。由 ，得∠BAD=∠DBC;由DE∥BC，得∠EDB=∠DBC;又∠BDE=∠BAD，因此△DBE∽△ADE。

8. (江苏省苏州市2007年8分)如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，且AB=AC=4.P为AB上一

点，过P作PE⊥AB分别BC、OA于E、F

(1)设AP=1，求△OEF的面积.

(2)设AP=a (0

①若S1=S2，求a的值;

②若S= S1+S2，是否存在一个实数a，使S< ?若存在，求出一个a的值;若不存在，说明理由.

【答案】解：(1)∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°。

又∵ AB=AC，∴∠B=∠C=45°。

∵OA⊥BC，∴∠B=∠1=45° 。∵PE⊥ AB，∴∠2=∠1=45°。∴∠4=∠3=45°。

则△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形。

∵AP=l，AB=4，∴AF= ,OA= 。∴OE=OF= 。

∴△OEF的面积为 。

(2)①∵PF=AP=a.∴AF= .OE=OF= 一 。

∴ ，

∵S1=S2 ，∴ ，解得 。

∵ ，∴ 。

②不存在。理由如下：

∵ ，

∴当 时，S取得最小值为 。

∵ ，∴不存在这样实数a，使S< 。

【考点】圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，二次函数的最值。

【分析】(1)根据已知条件，证出△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形即易求出△OEF的面积。

(2)①由S1=S2列出方程，解之即可。

②求出S关于 的函数关系式，由二次函数的最值求出S的最小值，与 比较即可。

9. (江苏省苏州市2008年9分))如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BM平分∠ABC交AC于M，以A

为圆心，AM为半径作OA交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交OA于P、K两点.作MT⊥BC

于T

(1)求证AK=MT;

(2)求证：AD⊥BC;

(3)当AK=BD时， 求证： .

【答案】证明：(1)∵∠BAC=90°，BM平分∠ABC交AC于M，MT⊥BC，∴AM=MT。

又∵AM=AK，∴AK=MT。

(2)∵BM平分∠ABC交AC于M，∴∠ABM=∠CBM。

又∵AM=AN，∴∠AMN=∠ANM。

又∵∠ANM=∠BND，∴∠AMN=∠BND。

∵∠BAC=900，∴∠ABM+∠AMB=900。∴∠CBM+∠BND=900。

∴∠BDN=900。∴AD⊥BC。

(3)∵BNM和BPK是⊙A的割线，∴BN•BM=BP•BK。即 。

∵AK=BD，AK=MT，∴BD=MT。

∵AD⊥BC，MT⊥BC，∴∠ADB=∠MTC=900。∴∠C+∠CMT=900。

∵∠BAC=900，∴∠C+∠ABC=900。∴∠ABM=∠CMT。

在△ABD和△CMT中，∵ ，∴△ABD≌△CMT(ASA)。

∴AB=MC。

∵AK=AM，∴AB+AK=MC+AM，即BK=AC。∴ 。

【考点】角平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质， 对顶角的性质，垂直的判定，割线长定理，全等三角形的判定和性质。

【分析】(1)根据角平分线上的点到角两边距离相等的性质，有AM=MT，从而由圆的半径相等结论。

(2)由已知，根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和对顶角的性质即能得到∠CBM+∠BND=900的结论，从而根据三角形内角和定理得到∠BDN=900，即AD⊥BC。

(3)根据割线长定理，有 ，故只要证得BK=AC即可证得结论。由△ABD≌△CMT可得AB=MC，由圆半径相等得AK=AM，从而AB+AK=MC+AM，即BK=AC。

10. (江苏省苏州市2011年8分)如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点(不与点A、B重合)，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，连接AD.

(1)弦长AB等于 ▲ (结果保留根号);

(2)当∠D=20°时，求∠BOD的度数;

(3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似?请写出解

答过程.

【答案】解: (1) 。

(2)∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角，

∴∠BOD=∠B+∠BCO，∠BCO=∠A+∠D。∴∠BOD=∠B+∠A+∠D。

又∵∠BOD和∠A分别是弧BD所对的圆心角和圆周角， ∴∠BOD=2∠A。

又∵∠B=30°，∠D=20°，∴2∠A=∠A+30°+20°，即∠A=50°。

∴∠BOD=2∠A=100°。

(3)∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO>∠A，∠BCO>∠D。

∴要使△DAC∽△BOC，只能∠DCA=∠BCO=90°。

此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°。

∴△DAC∽△BOC。

∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，∴AC= AB= 。

∴当AC= 时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似。

【考点】弦径定理, 直角三角函数, 圆周角定理, 三角形外角定理，相似三角形的判定。

【分析】(1) 由OB=2，∠B=30°知 。

(2) 由∠BOD是圆心角, 它是圆周角A的两倍, 而 得求。

(3) 要求AC的长度为多少时，△DAC∽△BOC，只能∠DCA=∠BCO=90°，据此可求。

11. (2012江苏苏州8分)如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上

的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为 .

⑴当 时，求弦PA、PB的长度;

⑵当x为何值时， 的值最大?最大值是多少?

【答案】解：(1)∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l。

又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB。

∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°。

∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。

∴ ，即PA2=PC•PD。

∵PC= ，AB=4，∴ 。

∴在Rt△APB中，由勾股定理得： 。

(2)过O作OE⊥PD，垂足为E。

∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD。

在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x-2。

∴CD=PC-PD= x-2(x-2)=4-x 。

∴ 。

∵

∴当 时， 有最大值，最大值是2。

【考点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，二次函数的最值。

【分析】(1)由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条 直线的两直线平行，得到AB与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似，由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在Rt△APB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长。

(2)过O 作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC-EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值。

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