∵△ABC为正三角形，∴∠CDF=∠A=60°。

∴△CDF为正三角形。∴DF=CD。

又∵BE=CD，∴BE=DF。

又∵DF∥AB，∴ ∠PEB=∠PDF，∠PBE=∠PFD。

在△DFP和△EBP中， ，∴△DFP≌△EBP(ASA)。∴DP=PE

(2)由(1)得△DFP≌△EBP，可得FP=BP。

∵D为AC中点，DF∥AB

∴BF= BC= a。∴BP= BF= a。

【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理。

【分析】(1)过点D作DF∥AB，构造三角形全等，可证得△CDF为等边三角形，得到DF=BE，可由ASA证得△DFP≌△EBP，从而得DP=EP。

(2)若D为AC的中点，则DF是△ABC的中位线，有BF= BC= a，点P是BF的中点，得到BP= BF= a。

6. (江苏省苏州市2005年6分)为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图。按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入.为标明限高，请你根据该图计算CE.

【答案】解：在△ABD中，∠ABD=90°，∠BAD=18°。

∴ tan∠BAD= 。 ∴ BD=9×tan18°。

∴ CD=BD-BC=9×tan18°-0.5。

在△ABD中，∠CDE=∠ABD ∠BAD=72°。

∵ CE⊥ED，∴ sin∠CDE= 。

∴ CE=CD ×sin∠CDE= (9×tan18°-0.5)× sin72°≈2.3(m)。

答：CE为2.3 m。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】应用锐角三角函数定义解直角三角形ABD和CDE 即可。

7. (江苏省苏州市2005年6分)如图一，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。求证：AE∥BC;

(2)如图二，将(1)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC改成相似于△ABC。请问：是否仍有AE∥BC?证明你的结论。

【答案】解：(1)证明：∵△ABC和△EDC都是等边三角形，∴∠ECD=∠ACB=600。

∴∠ECD-∠ACD =∠ACB-∠ACD，即∠ACE=∠BCD。

又∵AC=BC，EC=DC，∴△ACE≌△BCD(SAS)。∴∠EAC=∠B=600。

∴∠EAC=∠ACB。∴AE∥BC。

(2)仍有AE∥BC，证明如下：

∵△ABC∽△EDC，∴∠ECD=∠ACB， 。

∴∠ECD-∠ACD =∠ACB-∠ACD，即∠ACE=∠BCD。且 。

∴△ACE∽△BCD。∴∠EAC=∠B。

∵在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠ACB。

∴∠EAC=∠ACB。∴AE∥BC。

【考点】等边和等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定。

【分析】(1)由△ABC和△EDC都是等边三角形，通过△ACE和△BCD全等的判定，得到∠EAC=∠B，同时，由等边三角形内角相等的性质得到∠EAC=∠ACB，从而根据内错角相等，两直线平行的判定，得到AE∥BC的结论。

(2)与(1)仿，不过将证全等变为证相似。

8. (江苏省苏州市2006年6分)如图，在一个坡角为15"的斜坡上有一棵树，高为AB.当太阳光与水平线成500时.测得该树在斜坡上的树影BC的长为7m，,求树高.(精确到0.1m)

【答案】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD。

∴∠BCD=150，∠ACD=500。

在Rt△CDB中， CD=7×cosl50，BD=7×sinl50。

在Rt△CDA中，AD=CD×tan500=7×cosl50×tan500

∴ AB=AD—BD=(7×cosl50×tan500一7×sin150)

=7(cosl50×tan500一sinl50)≈6.2(m)。

答：树高约为6.2m。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】构造直角三角形CDB和CDA，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，应用锐角三角函数定义解这两个直角三角形即可求。

9. (江苏省苏州市2007年6分)某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小

台阶.已知看台高为l.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为l米的不锈钢架杆AD

和BC(杆子的底端分别为D，C)，且∠DAB=66. 5°.

(1)求点D与点C的高度差DH;

(2)求所用不锈钢材料的总长度 (即AD+AB+BC，结果精确到0.1米).

(参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30)

【答案】解：(1)∵DH=1.6× =l.2，

∴点D与点C的高度差DH为12米。

(2)过B作BM⊥AH于M，则四边形BCHM是矩形。

∴MH=BC=1。∴AM=AH-MH=2.2-l=l.2。

在RtAMB中，∵∠A=66.5°

∴AB= 。

∴ =AD+AB+BC≈1+3.0+1=5.0。

答：点D与点C的高度差DH为l.2米;所用不锈钢材料的总长度约为5.0米。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】(1)由看台是四级高度相等的小台阶和看台高为l.6米，即可求出点D与点C的高度差DH。

(2)过B作BM⊥AH于M，构造直角三角形AMB，应用锐角三角函数定义即可求解。

10. (江苏省苏州市2007年7分)如图，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，

CH⊥AB于H，CH交AD于F.

(1)求证：CD∥AB;

(2)求证：△BDE≌△ACE;

(3)若O为AB中点，求证：OF= BE.

11. (江苏省苏州市2008年6分)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4.

求证：(1)△ABC≌△ADC;

(2)BO=DO.

【答案】证明：(1)在△ABC和△ADC中，

∵ ，∴△ABC≌△ADC(ASA)。 (2)∵△ABC≌△ADC，∴AB=AD。

又∵∠1=∠2，AO=AO，∴△ABO≌△ADO。∴BO=DO。

【考点】全等三角形的判定和性质

【分析】由已知用AAS判定△ABC≌△ADC，得出AB=AD，再利用SAS判定△ABO≌△ADO，从而得出BO=DO。

12. (江苏省2009年10分)如图，在航线 的两侧分别有观测点A和B，点A到航线 的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处.现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处.

(1)求观测点B到航线 的距离;

(2)求该轮船航行的速度(结果精确到0.1km/h).(参考数据： ， ，

， )

【答案】解：(1)设AB与 交于点O。

在 中，∠OAD=600，AD=2

∴ 。

又∵AB=10，∴OB=AB-OA=6。

在 中，∠OBE=∠OAD=600，

∴ (km)。

∴观测点B到航线 的距离为3km。

(2)在 中， ，

在 中， ，

∴DE=OD+OE= 。

在 中，∠CBE=760，BE=3，∴ 。

∴ (km)。

∵ ，∴ (km/h)。

答：该轮船航行的速度约为40.6km/h。

【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】(1)解 和 即可求得观测点B到航线 的距离。

(2)解 、 和 ，求得CD的长，即可根据路程、时间和速度的关系求得该轮船航行的速度。

13. (江苏省苏州市2010年6分)如图， 是线段 的中点， 平分 ， 平分 ， .

(1)求证： ≌ ;

(2)若 =50°，求 的度数.

【答案】解：(1)证明：∵点 是线段 的中点，∴ ，

又∵ 平分 ， 平分 ，∴∠1=∠2，∠2=∠3。∴∠1=∠3。

在 和 中， ，∴ ≌ 。

(2)∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠1=∠2=∠3=60°。

∵ ≌ ，∴ 50°。

∴ 。

【考点】三角形全等的判定性质，三角形的内角和定理，平角的定义。

【分析】(1)根据SAS即可判定两个三角形全等。

(2)利用全等三角形的性质求出 与 的度数，结合三角形的内角和及平角的意义求出所要求的角。

14. (江苏省苏州市2011年5分)如图，小明在大楼30米高(即PH=30米)的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i(即tan∠ABC)为1： ，点P、H、B、C、A在同一个平面上.点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC.

(1)山坡坡角(即∠ABC)的度数等于 ▲ 度;

(2)求A、B两点间的距离(结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.732).

【答案】解：(1)30。

(2) 设过点P的水平线为PQ，则由题意得：∠QPA=15°，∠QPB=60°，

∵PQ∥HC，∴∠PBH=∠QPB=60°，∠APB=∠QPB-∠QPA=45°。

又∵ ，∴∠ABC=30°。

∴∠ABP=180°-∠ABC -∠PBH=90°。

∴在Rt△PBC中，PB= 。

∴在Rt△PBA中，AB=PB= 。

答：A、B两点间的距离约34.6米。

【考点】解直角三角形，特殊角的三角函数, 三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定。

【分析】(1) 由tan∠ABC ，知∠ABC=300。

(2) 欲求A、B两点间的距离, 由已知可求得△PBA是等腰直角三角形, 从而知AB=PB。因此在Rt△PBC中应用三角函数求解即可。

15. (2012江苏苏州8分)如图，已知斜坡AB长60米，坡角(即∠BAC)为30°，BC⊥AC，现计划在

斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.(请

将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据 ).

⑴若修建的斜坡BE的坡角(即∠BAC)不大于45°,则平台DE的长最多为 ▲ 米;

⑵一座建筑物GH距离坡脚A点27米远(即AG=27米)，小明在D点测得建筑物顶部H的仰角(即

∠HDM)为30°.点B、C、A、G、H在同一个平面上，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米?

【答案】解：(1)11.0。

(2)过点D作DP⊥AC，垂足为P。

在Rt△DPA中，DP= AD= ×30=15，

PA=AD•cos30°= 30× 。

在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=PA+AG= +27。

在Rt△DMH中，HM=DM•tan30°=( +27)× ，

∴GH=HM+MG=15+ ≈45.6。

答：建筑物GH高为45.6米。

【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】(1)根据题意得出，∠BEF最大为45°，当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，从革命利益出发而得出EF的长，即可得出答案：

∵修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)不大于45°，∴∠BEF最大为45°，

当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长。

∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，∴BF=EF= BD=15，DF= 。

∴DE=DF-EF=15( -1)≈11.0。

(2)利用在Rt△DPA中，DP= AD，以及PA=AD•cos30°，从而得出DM的长，利用

HM=DM•tan30°得出即可。

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