【答案】解：去分母，得 ，

去括号，得 ，

∴原不等式的解集为 。在数轴上表示为：

【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】利用不等式的基本性质，先去分母、去括号，再移项、合并同类项即可求得原不等式的解集。

不等式的解集在数轴上表示的方法：>，≥向右画;<，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示;“<”，“>”要用空心圆点表示。

6. (江苏省苏州市2002年5分)解方程：

【答案】解：设 ，则原方程可化为

解之，得 。

当 时， ，解之，得 。

当 时， 无意义，舍去。

经检验，原方程的解为 。

【考点】换元法解无理方程。

【分析】用换元法解方程，设 ，则原方程可化为关于 的一元二次方程。先求 ，再求 ，结果需检验。

7. (江苏省苏州市2002年6分) 已知关于 的方程：

(1)求证：无论 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根;

(2)若这个方程的两个实根 、 满足 ，求 的值及相应的 、 。

【答案】解：(1)证明：∵ ，

∴无论 为什么实数时，总有， 即 。

∴无论 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。

(2)∵ ，∴ ，或 。

①若 ，则 ，∴ 。

∴ ，即 。

这时 ，解得 ， 。

②若 ，则 ，∴ 。

∴ ，即 。

这时 ，解得 ， 。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。

【分析】(1)根据方程根的判别式判断根的情况，只要证明判别式△的值恒为正值即可。

(2)由 得 ，或 。故分 ，和 ，

分别讨论即可。

8. (江苏省苏州市2002年6分)某港受潮汐的影响，近日每天24小时港内的水深变化大体如下图：

一般货轮于上午7时在该港码头开始卸货，计划当天卸完货后离港。已知这艘货轮卸完货后吃水深度为2.5m(吃水深度即船底离开水面的距离)。该港口规定：为保证航行安全，只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5m时，才能进出该港。

根据题目中所给的条件，回答下列问题：

(1)要使该船能在当天卸完货并安全出港，则出港时水深不能少于_________m，卸货最多只能用___________小时;

(2)已知该船装有1200吨货，先由甲装卸队单独卸，每小时卸180吨，工作了一段时间后，交由乙队接着单独卸，每小时卸120吨。如果要保证该船能在当天卸完货并安全出港，则甲队至少应工作几小时，才能交给乙队接着卸?

【答案】解：(1)6：8。

(2)设甲队工作 小时，才能交给乙队接着卸

令 ，解得 。

答：甲队至少应工作4小时。

【考点】一元一次不等式的应用。

【分析】(1)因为吃水深度为2.5m，即船底离开水面的距离2.5m，该港口规定：为保证航行安全，只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5m时，这样出港时水深就不能少于2.5+3.5=6m。

从图中可知，15时之后水深即小于6m，故从上午7时在该港码头开始卸货，卸货最多只能用

15-7=8小时。

(2)设甲队至少应工作 小时，才能交给乙队接着卸，依题意列出不等式，解不等式，取最小值即可。 9.(江苏省苏州市2003年5分)解方程组：

【答案】解： ，

①×2，得4x+2y=8 ③，

③+②，得7x=21，∴x=3。

把x=3代入①，得6+y=4，∴y=-2。

∴方程组的解为 。

【考点】解二元一次方程组

【分析】先用加减消元法，再用代入消元法即可。

10. (江苏省苏州市2003年6分)我国东南沿海某地区的风力资源丰富，一年内日平均风速不小于3米/秒的时间共约160天，其中日平均风速不小于6米/秒的时间约占60天。为了充分利用“风能”这种“绿色能源”，该地拟建一个小型风力发电场，决定选用A、B两种型号的风力发电机。根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表：

日平均风速V(米/秒)

日发电量 A型发电机 0

(千瓦•时) B型发电机 0

根据上面的数据回答：

(1)若这个发电场购x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为___________千瓦•时;

(2)已知A型风力发电机每台0.3万元，B型风力发电机每台0.2万元。该发电场拟购置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电场每年的发电总量不少于102000千瓦•时，请你提供符合条件的购机方案。

【答案】解：(1) 。

(2)设购A型风力发电机 台，则购B型风力发电机 台，

根据题意，得 ，解得 。

∴符合条件的购机方案有二个：

方案1：购A型风力发电机5台，购B型风力发电机5台;

方案2：购A型风力发电机6台，购B型风力发电机4台。

【考点】一元一次不等式组的应用。

【分析】(1)根据题意，有一台A型风力发电机一年的发电总量至少为60×150+(160-60)×36=12600千瓦•时，所以x台A型风力发电机一年的发电总量至少为 千瓦•时。

(2)不等式的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解。本题不等量关系为：

①购A型风力发电机的费用+购B型风力发电机的费用“不超过”2.6万元

;

②A型风力发电机每年的发电量+B型风力发电机每年的发电量“不少于”102000千瓦•时

+

其中一台B型风力发电机一年的发电总量至少为60×90+(160-60)×24=7800千瓦•时。

11. (江苏省苏州市2004年5分)解方程： 。

【答案】解：设 ，则 。

则原方程可化为： ，即： ，

解得 。

当 时， ，当 时， 。

经检验， ， 是原方程的根.

∴原方程的解为 ， 。

【考点】换元法解分式方程，因式分解法解一元二次方程。

【分析】观察方程可得 与 互为倒数，所以可采用换元法将方程转化。

12. (江苏省苏州市2004年6分)已知关于x的一元二次方程 ax2+x—a=0 ( a≠0 )

(1) 求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根;

(2) 设x1、 x2是该方程的两个根，若 ，求a的值。

【答案】解：(1)证明：∵△=1+4a2，∴△>0 。 ∴方程恒有两个不相等的实数根。

设方程的两根为x1，x2,

∵a≠0，∴x1•x2= —1<0

∴方程恒有两个异号的实数根。

(2)∵ ，∴两边平方，得

∵x1•x2<0，∴ ，即

又∵ ，∴ ，解得 。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。

【分析】(1)求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根，即证明一元二次方程的根的判别式△=b2-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若两根之积小于0，则方程有两个异号的实数根。

(2)根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把|x1|+|x2|=4变形成与两根之和与两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得a的值。

13. (江苏省苏州市2004年7分)某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册。该纪念册每册需要10张8K大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页。印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页300元/张，黑白页50元/张;印刷费与印数的关系见下表。

印数a (单位：千册) 1≤a<5 5≤a<10

彩色 (单位：元/张) 2.2 2.0

黑白(单位：元/张) 0.7 0.6

(1)印制这批纪念册的制版费为 元;

(2)若印制2千册，则共需多少费用?

(3)如果该校希望印数至少为4千册，总费用至多为60 000元，求印数的取值范围。(精确到0。01千册)

14. (江苏省苏州市2005年5分)解方程组：

【答案】解：原方程组可化为 ，

①+②得， ;

①-②得， 。

∴原方程组的解为 。

【考点】解二元一次方程组。

【分析】先把方程组中的①化简，利用加减消元法或者代入消元法求解即可。

15. (江苏省苏州市2005年7分)苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：

①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租;

②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗;

③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益;

④每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益;

(1)若租用水面 亩，则年租金共需__________元;

(2)水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润(利润=收益-成本);

(3)李大爷现在奖金25000元，他准备再向银行贷不超过25000元的款，用于蟹虾混合养殖。已知银行贷款的年利率为8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润超过35000元?

【答案】解：(1)500n。

(2)每亩收益=4×1400+20×160=8800，

每亩成本=4×(75+525)+20×(15+85)+500=4900，

每亩利润=8800-4900=3900。

(3)设应该租n亩水面，并向银行贷款x元，可使年利润超过35000元，

则年内总成本为 4900n=25000+x，即x=4900 n -25000 ①

根据题意，有

将①代入②，得4900 n -25000≤25000， 即 n≤ ≈10.2。

将①代入③，得3508n≥33000，即 n≥ ≈9.4。

∴ n=10(亩)。

x=4900 ×10 -25000=24000(元)。

∴李大爷应该租10亩水面，并向银行贷款24000元，可使年利润超过35000元。

【考点】一元一次不等式的应用

【分析】(1)年租金=每亩水面的年租金×亩数。

(2)年利润=收益-成本

=(蟹苗收益+虾苗收益)-(蟹苗成本+虾苗成本)-水面年租金-饲养总费用

(3)设应该租n亩水面，并向银行贷款x元，可使年利润超过35000元。依题意，有①年内总成本为： 4900n=25000+x;②向银行贷款不超过25000元： ;③年利润超过35000元： 。解之即得所求。

16. (江苏省苏州市2006年5分)解方程：

【答案】解;原方程可化为

解得

经检验，原方程的解为 。

【考点】解分式方程，因式分解法解一元二次方程。

【分析】本题的最简公分母是x(x-2)，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解。

【也可用换元法设 求解】

17. (江苏省苏州市2007年5分)解不等式组： .

【答案】解：由 ，得 >0;由 ，得 ≤3.

∴原不等式组的解集为0< ≤3。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)。

18. (江苏省苏州市2007年6分)解方程： .

【答案】解：原方程可化为 ，

∴ 。解得 。

经检验， 是原方程的根。

∴原方程的解为 。

【考点】解分式方程。

【分析】本题的最简公分母是 .方程两边都乘最简公分母 ，可把分式方程转换为整式方程求解，结果需检验。也可用换元法，设 求解。

19. (江苏省苏州市2008年5分)解方程： .

【答案】解：设 ，则原方程可化为 ，即 。

∴ 。

当 ，即 ，解得 ;

当 ，即 ，解得 。

经检验， ， 是原方程的根。

原方程的解为 ， 。

【考点】换元法解分式方程，因式分解法解一元二次方程。

【分析】观察方程由方程特点设 ，则原方程可化为 ，应用因式分解法解之，然后代 求解，注意分式方程的验根。

20. (江苏省苏州市2008年6分) 解不等式组： ，并判断 是否满足该不等式组。

【答案】解：

由(1)得：x>-3，

由(2)得：x≤1。

∴原不等式组的解集是：-3

∵ ，∴ 。

又∵ ，∴-3< ≤1。

∴ 满足该不等式组。

【考点】解一元一次不等式组，估算无理数的大小。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)。最后利用无理数的估算即可解决问题。

21. (江苏省2009年8分)一辆汽车从A地驶往B地，前 路段为普通公路，其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h.

请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程.

【答案】解： 解法一 问题：普通公路和高速公路各为多少千米?

解：设普通公路长为 km，高度公路长为 km。

根据题意，得 ，解得 。

答：普通公路长为60km，高速公路长为120km。

解法二 问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时?

解：设汽车在普通公路上行驶了 h，高速公路上行驶了 h。

根据题意，得 ，解得 。

答：汽车在普通公路上行驶了1h，高速公路上行驶了1.2h。

(本题答案不唯一)。

【考点】二元一次方程组应用。

【分析】根据题意，提出问题并解答。(本题答案不唯一)。

22. (江苏省苏州市2010年5分) 解不等式组：

【答案】解：

由①得 ，

由②得 ，

∴原不等式组的解为 。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)。

23 (江苏省苏州市2010年6分)解方程： .

【答案】解：去分母得 ，

去括号得 ，

合并同类项得 ，

∴ 。

经检验 是原方程的根。

∴原方程的解为 。

【考点】解分式方程。

【分析】原方程的两边同时乘以公分母 后，转化为整式方程，注意分式方程解后要检验。本题也可用换元法求解。

24. (江苏省苏州市2011年5分)解不等式： .

【答案】解: 去括号，得 ，

移项合并同类项，得 ，

两边同除以2，得 。

∴不等式的解为 。

【考点】解-元一次不等式。

【分析】利用-元一次不等式求解方法，直接得出结果。

25. (2012江苏苏州5分)解不等式组： 。

【答案】解：

由不等式①得，x<2，

由不等式②得，x≥-2，

∴不等式组的解集为-2≤x<2。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)。

26. (2012江苏苏州6分)解分式方程：

【答案】解：去分母得：3x+x+2=4，

解得：x= 。

经检验，x= 是原方程的解。

∴原方程的解为，x= 。

【考点】解分式方程。

【分析】两边同乘分式方程的最简公分母 ，将分式方程转化为整式方程，再解答，然后检验。

27. (2012江苏苏州6分)我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的 ，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13800m3，问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少(单位：m3)?

【答案】解：设中国人均淡水资源占有量为xm3，则美国人均淡水资源占有量为5xm3。

根据题意得： x +5x =13800，解得，x=2300 ，5 x =11500。

答：中、美两国人均淡水资源占有量各为2300m3，11500m3。

【考点】一元一次方程的应用。

【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：

中、美两国人均淡水资源占有量之和为13800m3

x +5x = 13800。

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