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函数的图像与性质2001-2012年常州市中考试题

2001-2012年江苏常州中考数学试题分类解析汇编(12专题)

专题6：函数的图象与性质

一、选择题

1. (2001江苏常州2分)下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例y=mnx(m,n是常数，且mn≠0)图象的是【　　】

A. 　B. 　　C. 　　D.

【答案】A。

【考点】一次函数(正比例函数)和系数与的关系。

【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”判断出m、n的符号，再根据一次函数的性质进行判断：

①当mn>0，m，n同号，y=mnx的图象经过1，3象限;

同正时y=mx+n的图象过1，3，2象限，同负时过2，4，3象限。

②当mn<0时，m，n异号，y=mnx的图象经过2，4象限;

则y=mx+n的图象过1，3，4象限或2，4，1象限。

结合所给图象，只有选项A符合当mn<0时，m，n异号，y=mnx的图象经过2，4象限，y=mx+n的图象过2，4，1象限。故选A。

2. (2001江苏常州2分)已知反比例函数y= (k<0)的图象上两点A(x1,y1),B(x2,y2)，且x1

y1-y2的值是【　　】

A.正数　　　B.负数　　　　C.非正数　　　　D.不能确定

【答案】D。

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。

【分析】∵自变量所在象限不定，∴在x1

若x1、x2同号，则y1-y2<0;若x1、x2异号，则y1-y2>0。故选D。

3. (江苏省常州市2002年2分)若抛物线y=x2-6x+c的顶点在x轴上，则c的值是【 】

A. 9 B. 3 C.-9 D. 0

【答案】A。

【考点】二次函数的性质。

【分析】当抛物线顶点在x轴上时，顶点纵坐标为0，根据顶点纵坐标公式求解即可：

∵抛物线y=x2-6x+c的顶点在x轴上，a=1，b=-6，c=c，

∴顶点纵坐标为0，即 ，解得c=9。故选A。

4. (江苏省常州市2002年2分)已知一次函数y=k1+b，y随x的增大而减小，且b>0，反比例函数y= 中的k2与k1值相等，则它们在同一坐标系中的图像只可能是【 】

A B C D

【答案】C。

【考点】反比例函数和一次函数的性质。

【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小，则k1<0，且b>0与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴一次函数图象过一、二、四象限，故A和B错误;又∵反比例函数y= 中的k2与k1值相等，k2<0，∴反比例函数图象位于二、四象限。故选C。

5. (江苏省常州市2003年2分)已知圆柱的侧面积是 ，若圆柱底面半径为 ，高为 ，则关于 的函数图象大致是【 】

【答案】

【考点】反比例函数的应用。

【分析】根据题意有： ，化简可得 ，故 与 之间的函数图象为反比例函数，且根据实际意义 与 应大于0，其图象在第一象限。故选B。

6. (江苏省常州市2004年2分)关于函数 ，下列结论正确的是【 】

(A)图象必经过点(﹣2，1) (B)图象经过第一、二、三象限

(C)当 时， (D) 随 的增大而增大

【答案】C。

【考点】一次函数的性质。

【分析】将四个选项分别验证即可得出结论：

A、将(-2，1)代入 中得左边=1，右边=-2×(-2)+1=5≠左边，选项错误;

B、根据正比例函数的性质， 时，图象经过一、二、四象限，选项错误;

C、直线 与 轴的交点为( ，0)，当 > 时， <0，选项正确;

D、根据一次函数的性质， ， 随 的增大而增减小，选项错误。

故选C。

7. (江苏省常州市2007年2分)若二次函数 ( 为常数)的图象如下，则 的值为【 】

A. B. C. D.

【答案】D。

【考点】二次函数图象与系数的关系。

【分析】由图象可知：抛物线与y轴的交于原点，∴a2+2=0，解得a=± 。

由抛物线的开口向上，得a>0。

∴a= 。故选D。

8. (江苏省常州市2008年2分)若反比例函数 的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，

则k的值可以是【 】

A.-1 B.3 C.0 D.-3

【答案】B。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】根据题意列出不等式确定k的范围，再找出符合范围的选项：

根据题意k-1>0，则k>1。故选B。

9. (江苏省常州市2010年2分)函数 的图象经过的点是【 】

A.(2，1) B.(2，-1) C.(2，4) D.

【答案】A。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】在曲线上的点的坐标一定会使方程(函数关系式)的左右两边相等，反之不在曲线上。因此，满足 的只有(2，1)。故选A。

10. (江苏省常州市2010年2分)如图，一次函数 的图象上有两点A、B，A点的横坐标为

2，B点的横坐标为a(0

的面积分别为S1、S2，S1与S2的大小关系是【 】

A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1

【答案】A。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系，直角三角形面积公式，代数式大小比较。

【分析】代数式比较大小，可以采用求差法，求商法、求倒法等，本题采用求差法，求出S1和S2，求差即可：

∵A点在一次函数 的图象上，且它的横坐标为a，∴它的纵坐标为1。

∴S1 = ×2×1=1。

又∵B点在一次函数 的图象上，且它的横坐标为a(0

∴它的纵坐标为 。

∴S2 = a(- a+2)=- a2+a。

∴S1- S2= (a-2)2 。

∵00。∴S1>S2。。故选A。

11. (2011江苏常州2分)已知二次函数 ，当自变量 取 时对应的值大于0，当自变量 分别取 、 时对应的函数值为 、 ，则 、 必须满足【 】

A. >0、 >0 B. <0、 <0 C. <0、 >0 D. >0、 <0

【答案】B.

【考点】二次函数，不等式。

故选B。

12. (2012江苏常州2分)已知二次函数 ，当自变量x分别取 ，3，0时，对应的值分别为 ，则 的大小关系正确的是【 】

A. B. C. D.

【答案】 B。

【考点】二次函数的图象和性质。

【分析】由二次函数 知，

它的图象开口向上，对称轴为x=2，如图所示。

根据二次函数的对称性，x=3和x=1时，y值相等。

由于二次函数 在对称轴x=2左侧，y随x的增大而减小，而0<1< ，因此， 。故选B。

二、填空题

1. (江苏省常州市2002年1分)写出一个反比例函数的解析式，使它的图像不经过第一、第三象限：

▲ .

【答案】 (答案不唯一)。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】根据反比例函数 的性质：当 时，图象分别位于第一、三象限;当 时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数的图像不经过第一、第三象限，∴反比例函数 的系数 即可，如 。

2. (江苏省常州市2006年2分)已知反比例函数 的图像经过点(1， )，则这个函数的

表达式是 ▲ 。当 时， 的值随自变量 值的增大而 ▲ (填“增大”或“减小”)

【答案】 ;增大。

【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质。

【分析】根据题意，利用待定系数法解出系数则可。再根据 值的正负确定函数的增减性：

∵反比例函数 的图像经过点(1，-2)，∴ 。

∴这个函数的表达式是 。

又∵ ，当 时， 的值随自变量 值的增大而增大。

3. (江苏省常州市2007年2分)已知一次函数 的图象经过点A(0，-2)，B(1，0)，则

▲ ， ▲ .

【答案】-2;2。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】将A(0，-2)，B(1，0)代入 ，得

，解得 。

4. (江苏省常州市2007年2分)二次函数 的部分对应值如下表：

…

…

…

…

二次函数 图象的对称轴为 ▲ ， 对应的函数值 ▲ .

【答案】1;-8。

【考点】二次函数的图象和性质。

【分析】由表格的数据可以看出，x=-3和x=5时y的值相同都是7，

∴可以判断出，点(-3，7)和点(5，7)关于二次函数的对称轴对称，

∴对称轴为 。

又∵x=2的点关于对称轴x=1对称的点为x=0，而x=0时，y=-8，

∴x=2时，y=-8。

5. (江苏省常州市2008年2分)过反比例函数 的图象上的一点分别作x、y轴的垂线段，

如果垂线段与x、y轴所围成的矩形面积是6，那么该函数的表达式是 ▲ ，若点A(-3，m)在这个反比例函数的图象上，则m= ▲ .

【答案】 ;-2。

【考点】反比例函数系数k的几何意义。

【分析】利用矩形面积S=|k|和k>0可确定出k的值，从而求得函数的解析式。再将点A的坐标代入求得m的值即可：

过图象上的点(x，y)的垂线段与x、y轴所所作构成的矩形面积是6可知：|k|=6。

又∵k>0，图象在第一、三象限内，∴反比例函数的系数k=6。

∴函数的表达式是 。

又∵点A(-3，m)在这个反比例函数的图象上，∴ 。

6. (江苏省常州市2008年2分)已知函数 的部分图象如图所示，则c= ▲ ，当

x ▲ 时，y随x的增大而减小.

【答案】3;>1。

【考点】二次函数图象与系数的关系。

【分析】根据函数图象与x轴的交点，可求出c的值，根据图象可判断函数的增减性

∵二次函数 的图象过点(3，0)，∴-9+6+c=0，解得c=3。

由图象可知：x>1时，y随x的增大而减小。

7. (江苏省2009年3分)反比例函数 的图象在第 ▲ 象限.

【答案】二、四。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】根据反比例函数 的性质：当 时，图象分别位于第一、三象限;当 时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数 的系数 ，∴图象两个分支分别位于第二、四象限。

10. (2012江苏常州2分)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3，0)，⊙P是以点P为圆心，2为半径的圆。若一次函数 的图象过点A(-1，0)且与⊙P相切，则 的值为 ▲ 。

【答案】 或 。

【考点】一次函数综合题，直线与圆相切的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质。

【分析】如图，设一次函数 与y轴交于点C，与⊙P相切于点P。

则OA=1，OC=∣b∣，OP=3，BP=2，AP=4。

∴ 。

由△AOC∽△ABP，得 ，即 ，

解得 。

∴ 。

由图和一次函数的性质可知，k，b同号，

∴ 或 。

11. (2012江苏常州2分)如图，已知反比例函数 和 。点A在y轴的正半轴上，过点A作直线BC∥x轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，连接OC、OB。若△BOC的面积为 ，AC：AB=2：3，则 = ▲ ， = ▲ 。

【答案】2，-3。

【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】设点A(0，a)(∵点A在y轴的正半轴上，∴a>0)，则点B( )，点C( )。

∴OA= a，AB= (∵ )，AC= (∵ )，AB= 。

∵△BOC的面积为 ，∴ ，即 ①。

又∵AC：AB=2：3，∴ ，即 ②。

联立①②，解得 =2， =-3。

三、解答题

1. (2001江苏常州6分)已知二次函数 的图象如图所示：

(1) 这个二次函数的解析式是y=_____________________;

(2) 当x=____________时，y=3;

(3) 根据图象回答：当x_______________时，y>0。

【答案】解：(1) 。

(2)3或-1。

(3)x<0或x>2。

【考点】二次函数的图象，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)由图知顶点为(1，-1)，那么可设顶点式 ，再把(0，0)代入求a得

0=a-1，即a=1。∴这个二次函数的解析式为 。

(2)把y=3代入抛物线解析式即可。当y=3时， =3，解得x=3或x=-1。

(3)函数值大于0，指x轴上方的函数图象所对应的x的取值：

由图可知，抛物线与x轴两交点为(0，0)，(2，0)，开口向上。所以当x<0或x>2时，y>0。

2. (江苏省常州市2002年6分)已知抛物线 的图象过原点，且开口向上,

(1)求m的值,并写出函数解析式;

(2)写出函数图象的顶点坐标及对称轴

【答案】解：(1)∵抛物线 的图象过原点，且开口向上，

∴ ，且 ，解得m=±2。

而m>1，∴m=2。

∴函数解析式为 。 (2)∵ ，

∴顶点坐标为(-1，-1)，对称轴为x=-1。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。

【分析】(1)直接根据抛物线的性质可知 ， 0，解之即可得到m=2，即 。(2)由 直接可写出顶点坐标及对称轴。

3. (江苏省常州市2002年6分)阅读函数图像，并根据你所获得的信息回答问题：

(1) 折线OAB表示某个实际总是的函数图象，请你编写一道符合该图象意义的应用题;

(2) 根据你给出的应用题分别指出x轴，y轴所表示的意义，并写出A，B两点的坐标;

(3) 求出图象AB的函数解析式，并注明自变量x的取值范围。

【答案】解：(1)张老师从家出发，乘车去学校，汽车的速度是每小时25千米，经过2小时到达，到校后因家中有事，立即骑车返回，5小时到家。

(2)x轴表示时间，单位为时，y轴表示离家的路程，单位是千米，则A(2，50)，B(7，0)。

(3)设过A，B的解析式为y=kx+b，则

，解得 。

∴图象AB的函数解析式为y=-10x+70(2≤x≤7)。

【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】应选取常见的量，比如横轴表示时间，纵轴表示离家的路程，这段函数大致可理解为到一个地方去，到后立即返回到家(答案不唯一)。

4. (江苏省常州市2002年8分)图1是棱长为a的小正方体，图2，图3由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层，。。。。。。第n层，第n层的小正方体的个数记为s，

解答下列问题：

(1) 按照要求填表：

n 1 2 3 4 ……

s 1 3 6 …

(2) 写出当n=10时，s=______________.

(1) 据上表中的数据，把s作为纵坐标，n作为横坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应

的各点。

(2) 请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗?如果在某一函数的图象上，求出该函数的解析式。

【答案】解：(1)由题意得，

n 1 2 3 4 ……

s 1 3 6 10 …

(2)55.

(3)描点如下：

(4)猜想各点在二次函数的图象上。

设函数的解析式为 ，

由题意得 ，解之得 。

∴函数的解析式为 。

【考点】二次函数的应用，分类归纳(图形变化)。待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)找规律：s=1+2+3+…+n= n(n+1)，∴当n=4时，s=10。

(2)当n=10时，s= ×10×(10+1)=55。

(3)描点。

(4)由(1)s = n(n+1)可得猜想，用待定系数法求之。

5. (江苏省常州市2003年6分)已知二次函数 的图象经过点(2，0)、(-1，6)。

(1)求二次函数的解析式;

(2)画出它的图象;

(3)不用列表，在下图中画出函数图象，观察图象写出y>0时，x的取值范围。

【答案】解：(1)∵ 的图象经过点(2，0)、(-1，6)，