∴ ，解得 。

∴二次函数的解析式为 。 (2)作图如下：

(3)由图可知：当y>0时，x>2或x<0。

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质。

【分析】(1)将已知的两点坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，求出二次函数的解析式。

(2)可根据(1)的抛物线解析式作图。

(3)根据函数的图象得出y>0时，x的取值范围。

6. (江苏省常州市2003年10分)设一次函数 的图象为直线 ， 与x轴、y轴分别交于点A、B。

(1)求tan∠BAO的值;

(2)直线 过点(-3，0)，若直线 、 与x轴围成的三角形和直线 、 与y轴围成的三角形相似，求直线 的解析式。

【答案】解：(1)在一次函数 中，令x=0，解得y=2;令y=0，解得x=-4。

∴A，B的坐标是(-4，0)，(0，2)。

∴OA=4，OB=2。

∴ 。

(2)设直线 与 相交于点M，与x轴相交于点P(-3，0)，与y轴相交于点N，则直线 、 与x轴围成的三角形为△APM，直线 、 与y轴围成的三角形为△NBM。

分三种情况讨论：

①当点N在y轴负半轴上，如图1，

当只有当∠AMP=∠NMB=900时，△APM∽△NBM。

此时，△AOB∽△NOP，得 ，

∵OP=3，OB=2，OA=4，∴ON=6。∴N(0，-6)。

设直线 的解析式为 ，则 ，

解得 。

∴直线 的解析式为 。

②当点N在y轴正半轴上，且在OB的延长线上，如图2，

当只有当∠MAP=∠MNB时，△APM∽△NBM。

此时，△AOB∽△NOP，得 ，

∵OP=3，OB=2，OA=4，∴ON=6。∴N(0，6)。

设直线 的解析式为 ，则 ，

解得 。

∴直线 的解析式为 。

②当点N在y轴正半轴上，且在OB上，如图3，

∵∠AMP=∠BMN，

但∠BNM=∠PNO>∠NPO(∵ON

<∠PAM，

∠BNM=∠PNO<∠APM，

∴此时，△APM∽△NBM不成立。

综上所述，直线 、 与x轴围成的三角形和直线 、 与y轴围成的三角形相似时，直线 的解析式为 或 。

【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，三角形边角关系，三角形外角性质。

【分析】(1)在一次函数中，求出函数与坐标轴的交点坐标，就可以求出OA，OB的长，就可以求出三角函数值。

(2)分点N在y轴负半轴上;点N在y轴正半轴上，且在OB上;点N在y轴正半轴上，且在OB上三种情况分别讨论即可。

7. (江苏省常州市2004年6分)已知一个二次函数的图象经过点(0，0)，(1，﹣3)，(2，﹣8)。

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)写出它的对称轴和顶点坐标。

8. (江苏省常州市2004年5分)在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数图象如下图所示：

(1)I与R的函数关系式为： ;

(2)结合图象回答：当电路中的电流不得超过12 A时，电路中电阻R的取值范围是 。

【答案】解：(1) 。(2)R≥3。

【考点】跨学科问题，反比例函数的应用。

【分析】(1)根据图象可知I与R之间的关系，然后列出函数关系式 ，U保持不变，再把图象所经过的点A(6，6)代入函数式，求出U的值等于36，即得I与R的函数关系式为 。

(2)当I=12时，R=3，所以求出R的取值范围是R≥3。

9. (江苏省常州市2005年8分)有一个Rt△ABC，∠A=900，∠B=600，AB=1，将它放在直角坐标系中，使斜边BC在x轴上，直角顶点A在反比例函数 的图象上，求点C的坐标.

【答案】解：本题共有4种情况：

(1)如图①，过点A做AD⊥BC于D，

在Rt△ABC中，∠A=900，∠B=600，AB=1，

∴ 。

在Rt△ABC中，∠ADB=900，∠B=600，AB=1，

∴AD=ABsin60°= ，BD= ABcos60°= 。

∴点A的纵坐标为 。

将其代入 ，得x=2，即OD=2 。

∴OC=OB+BC=(OD-BD)+BC=(2- )+2= 。

∴点C1的坐标为( )。

(2)如图②，过点A作AE⊥BC于E，

同上，可得AE= ，OE=2，CE= ，OC= 。

∴点C2的坐标为( ，0)。

根据双曲线的对称性，得点C3的坐标为( )， 点C4的坐标为( )。

综上所述，点C的坐标分别为：( )、( ，0)、( )、( )。

【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】根据反比例函数的性质，分四种情况解直角三角形即可。

10. (江苏省常州市2006年8分)在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图像与 轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD时一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式。

【答案】解：本题共有4种情况：

设二次函数的图像得对称轴与 轴相交于点E，

(1)如图①，当抛物线开口向上，∠CAD=600时，

∵四边形ABCD是菱形，一边长为2，∴DE=1，BE= 。

∴点B的坐标为( ，0)，点C的坐标为(1，-1)，

∵点B、C在二次函数的图像上，

∴ ， 解得 。

∴此二次函数的表达式 。

(2)如图②，当抛物线开口向上，∠ACB=600时，

由菱形性质知点A的坐标为(0，0)，点C的坐标为(1， )，

解得

∴此二次函数的表达式为 。

同理可得：抛物线开口向下时，此二次函数的表达式为

。

综上所述，符合条件的二次函数的表达式有：

， ，

。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，菱形的性质，解直角三角形。

【分析】根据题意，画出图形，可得以下四种情况：

(1)以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上;

(2)以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下;

(3)以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上;

(4)以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下。

利用四边形ACBD一个边长为2且有一个内角为60°的条件，根据解直角三角形的相关知识解答。

11. (江苏省常州市2007年10分)已知A 与B 是反比例函数 图象上的两个点.

(1)求 的值;

(2)若点C ，则在反比例函数 图象上是否存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为梯形?若存在，求出点D的坐标;若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)∵A 与B 是反比例函数 图象上的两个点，

∴ ，解得 。

∴ 。

(2)如图1，作BE⊥x轴，E为垂足，

∵B(2， )，C(-1，0)，

∴CE=3，BE= ，BC= 。

∴∠BCE=30°，

由于点C与点A的横坐标相同，因此CA⊥x轴，从而∠ACB=120°。

①当AC为底时，由于过点B且平行于AC的直线与双曲线只有一个公共点B，故不符题意。

②如图1，当BC为底时，过点A作BC的平行线，交双曲线于点D。设BC的解析式为：

∵B(2， )，C(-1，0)，

∴ ，解得 。∴BC的解析式为 。

∵AD∥BC，∴设AD的解析式为 。

∵A ，∴ ，解得 。

∴AD的解析式为 。

由 ，解得 ， 。

∴D(6， )。

此时AD= ，与BC= 不等，故四边形ADBC是梯形。

③如图2，当AB为底时，过点C作AB的平行线，与双曲线的交点为D。设AB的解析式为： 。

∵A ，B(2， )，

∴ ，解得 。

∴AB的解析式为 。

∵CD∥AB，∴设CD的解析式为 。

∵C(-1，0)，∴ ，解得 。

∴CD的解析式为 。

由 ，解得 ， 。

∴D(-2， )或(1， )。

此时CD=2或CD=4，与AB=6不等，故四边形ABCD或ABDC是梯形。

综上所述，符合条件的点D的坐标为(6， )，(-2， )，(1， )。

【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的性质，梯形的判定。

【分析】(1)由于A 与B 是反比例函数 图象上的两个点，根据曲线上点的坐标与方程的关系，可列方程组求k的值。

(2)判断是不是梯形，就要判定一组对边平行且不相等.求出坐标，既能求线段长度，又能判别平行。

12. (江苏省2009年10分)如图，已知二次函数 的图象的顶点为 .二次函数 的图象与 轴交于原点 及另一点 ，它的顶点 在函数 的图象的对称轴上.

(1)求点 与点 的坐标;

(2)当四边形 为菱形时，求函数 的关系式.

【答案】解：(1)∵ ，∴顶点 的坐标为 ，对称轴为 。

又∵二次函数 的图象经过原点，且它的顶点在二次函数 图象的对称轴 上，

∴点 和点 关于直线 对称。∴点 的坐标为 。

(2)∵四边形 是菱形，

∴点 和点 关于直线 对称。∴点 的坐标为 。

∵二次函数 的图象经过点 ， ，

∴ ，解得

∴二次函数 的关系式为 。

【考点】二次函数的性质，点关于直线对称的性质，菱形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)把 化为顶点式，即可求得点 的坐标。根据 的图象经过原点，且它的顶点在二次函数 图象的对称轴 上，可知点 和点 关于直线 对称，从而根据点关于直线对称的性质求得点 的坐标。

(2)由于四边形 是菱形，根据菱形的性质，知点 和点 关于直线 对称，从而求得点 的坐标。由二次函数 的图象经过点 ， ，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，列方程组求解即可。

13. (江苏省2009年12分)某加油站五月份营销一种油品的销售利润 (万元)与销售量 (万升)之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元.(销售利润=(售价-成本价)×销售量)

请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：

(1)求销售量 为多少时，销售利润为4万元;

(2)分别求出线段 与 所对应的函数关系式;

(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大?(直接写出答案)

【答案】解：(1)根据题意，当销售利润为4万元，销售量为 (万升)。

答：销售量 为4万升时销售利润为4万元。

(2)∵点 的坐标为 ，从13日到15日利润为 (万元)，

∴销售量为 (万升)。∴点 的坐标为 。

设线段 所对应的函数关系式为 ，

则 ，解得 。

∴线段 所对应的函数关系式为 。

∵从15日到31日销售5万升，利润为 (万元)，

∴本月销售该油品的利润为 (万元)。∴点 的坐标为 。

设线段 所对应的函数关系式为 ，

则 ，解得 。

∴线段 所对应的函数关系式为 。

(3)线段 。

【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)根据公式：销售利润=(售价-成本价)×销售量，在已知售价和成本价时，可求销售利润为4万元时的销售量：销售量=销售利润÷(售价-成本价)。

(2)分别求出点 、 、 的坐标，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出 和 所对应的函数关系式。

(3) 段的利润率= ;

段的利润率= ;

段的利润率= 。

∴ 段的利润率最大。

14. (江苏省常州市2010年7分)向阳花卉基地出售两种花卉——百合和玫瑰，其单价为：玫瑰4元/株，百合5元/株，如果同一客户所购的玫瑰数量大于1200株，那么每株玫瑰还可降价1元。现某鲜花店向向阳花卉基地采购玫瑰1000株～1500株，百合若干株，此鲜花店本次用于采购玫瑰和百合恰好花去了9000元。然后再以玫瑰5元、百合6.5元的价格卖出。问：此鲜花店应如何采购这两种鲜花才能使获得的毛利润最大?

(注：1000株～1500株，表示大于或等于1000株，且小于或等于1500株。

毛利润=鲜花店卖出百合和玫瑰所获的总金额—购进百合和玫瑰的所需的总金额。)

【答案】解：设采购玫瑰x株，百合y株，毛利润为W元.

①当1000≤x≤1200时， 得4x+5y=9000，y= ，

W=(5-4)x+(6.5-5)y=x+1.5• =2700- 。

∵它是 的一次函数，函数单调减小，∴当x=1000时，W有最大值2500。

②当1200

W=(5-3)x+(6.5-5)y=2x+1.5y=2x+1.5× =2700+

∵它是 的一次函数，函数单调增加，∴当x=15000时，W有最大值4350。

综上所述，采购玫瑰1500株，采购百合900株，毛利润最大为4350元。

答：采购百合900株，采购玫瑰1500株，毛利润最大为4350元。

【考点】一次函数的应用，一次函数的性质。

【分析】依题意，分1000≤x≤1200和1200

15. (江苏省常州市2010年9分)如图，已知二次函数 的图像与 轴相交于点A、C，与 轴相较于点B，A( )，且△AOB∽△BOC。

(1)求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数 的关系式;

(2)在线段AC上是否存在点M( )。使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点(与点B不同)，且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出 的值;若不存在，请说明理由。

【答案】.解：(1)∵当 =0时， =3，∴B(0，3)。

∵△AOB∽△BOC，∴∠OAB=∠OBC， 。

∵OA= ，OB=3，∴ ，解得OC=4。∴C(4，0)。

∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠OBC+∠OBA=90°。∴∠ABC=90°。

∵ 图象经过点A( )，C(4，0)，

∴ ，解得 。

∴二次函数 的关系式为 。

(2)存在。分三种情况：

①如图1，当CP=CO时，点P在以BM为直径的圆上，

∵BM为圆的直径， ∴∠BPM=90°。

又∵∠ABC=90°，∴PM∥AB。

∴△CPM∽△CBA。∴ 。

∵OC=4，OB=3，∴CB=5。

又CA= ，CP=CO=4，∴ ，解得CM=5。

∴ =-1。

②如图2，当PC=PO时，点P在OC垂直平分线上，

则CP= 。

由△CPM∽△CBA，得 ，即 ，

解得 CM= 。

∴ 。

③当OC=OP时，M点不在线段AC上。

综上所述， 的值为 或-1。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，平行的判定，线段中垂线的性质。

【分析】(1)由点B是二次函数 的图像与 轴的交点，令 =0，即可得点B的坐标，从而由△AOB∽△BOC得对应边的比，求得C(4，0)。由三角形内角和定理求出∠ABC=90°。由二次函数 图象经过点A( )，C(4，0)，用待定系数法求出函数关系式。

(2)分CP=CO，PC=PO和OC=OP三种情况分别讨论即可。

16. (2011江苏常州10分)在平面直角坐标系XOY中，直线 过点 且与 轴平行，直线 过点 且与 轴平行，直线 与直线 相交于点P。点E为直线 上一点，反比例函数 ( >0)的图像过点E与直线 相交于点F。

⑴若点E与点P重合，求 的值;

⑵连接OE、OF、EF。若 >2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标;

⑶是否存在点E及 轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等?若存在，求E点坐标;若不存在，请说明理由。

【答案】解：(1)∵直线 过点A(1，0)且与 轴平行，直线 过点B(0。2)且与 轴平行，直线 与直线 相交于点P，∴点P(1，2)。

若点E与点P重合，则k=1×2=2。

(2)当k>2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂

足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形

∵PE⊥PF，

∴

∴S△PEF=

∴四边形PFGE是矩形， ∴S△PEF=S△GFE，

∴S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△GFE-S△OCE=

∵S△OEF=2S△PEF， ∴ ，解得k=6或k=2，

∵k=2时，E、F重合，舍去。 ∴k=6， ∴E点坐标为：(3，2)。

(3)存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF

①当k<2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H

∵△FHM∽△MBE， ∴

∵FH=1，EM=PE=1- ，FM=PF=2-k，

∴ 。

在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，

∴(1- )2=( )2+( )2

解得k= ，此时E点坐标为( ，2)。

②当k>2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得， 。

∵FQ=1，EM=PF=k-2，FM=PE= -1，

∴ = ，BM=2

在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2

∴(k-2)2=( )2+22，解得k= 或0，但k=0不符合题意， ∴k= .

此时E点坐标为( ，2)

∴符合条件的E点坐标为( ，2)( ，2).

【考点】反比例函数，矩形，一元二次方程，全等级三角形，相似三角形，勾股定理。

【分析】(1)易由直线 ， 求交点P坐标。若点E与点P重合，则点P在 图象上，坐标满足函数关系式，求出 。

(2)要求E点的坐标，只要先利用相似三角形对应边的比，用 表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用相似三角形OEF 面积是PEF面积2倍的关系求出 。

(3)要求E点的坐标，只要先由全等得到相似三角形，利用相似三角形对应边的比，用 表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用勾股定理求出 。要注意应根据点P、E、F三点位置分k<2和k>2两种情况讨论。

17. (2012江苏常州7分)某商场购进一批L型服装(数量足够多)，进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件。根据市场调研，若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件。现商场决定对L型服装开展降价促销活动，每件降价x元(x为正整数)。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元?每天最大销售毛利润为多少?(注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差)

2012中考科目：

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