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四边形2001-2012年中考数学试题(常州市)

2001-2012年江苏常州中考数学试题分类解析汇编(12专题)

专题10：四边形

一、选择题

1. (2001江苏常州2分)顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形一定是【　　】

A.矩形　　　B.菱形　　　C.梯形　　　　D.正方形

【答案】D。

【考点】等腰梯形的性质，三角形中位线定理，菱形的判定。

【分析】如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB≡CD，E、F、G、H分别是各边的中点，

连接AC、BD。

∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF= AC。

同理FG= BD，GH= AC，EH= BD。

又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD。

∴EF=FG=GH=HE。

∴四边形EFGH是菱形。故选D。

2. (2001江苏常州2分)下列命题中的真命题是【　　】

A.有一组邻边相等的四边形是菱形　B.对角线相等的四边形是矩形

C.有一组对边平行的四边形是梯形 　D.对角线相等的菱形是正方形

【答案】D。

【考点】命题与定理，菱形、矩形、梯形、正方形的判定。

【分析】根据菱形、矩形、梯形、正方形的判定作出判断：

A、假命题，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形;

B、假命题，例如等腰梯形，对角线也相等;

C、假命题，例如平行四边形的一组对边也平行;

D、真命题，符合矩形的判定定理。

故选D。

3. (江苏省常州市2005年2分)如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形ABCD的面积是【 】

A、 B、 C、 D、

【答案】A。

【考点】等腰梯形的性质，勾股定理。

【分析】知道等腰梯形的上底、下底，只要求出高，就可得梯形的面积：

过D，C分别作高DE，CF，垂足分别为E，F，

∵等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，

∴DC=EF=6，AE=BF=2。

∴DE= ，

∴梯形ABCD的面积= 。故选A。

4. (江苏省常州市2008年2分)顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是【 】

A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形

【答案】D。

【考点】菱形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定。

【分析】先证明四边形EFGH是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断：

如图：菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，

∴EH∥FG∥BD，EH=FG= BD;EF∥HG∥AC，EF=HG= AC。

∴四边形EFGH是平行四边形，

又∵AC⊥BD，∴EH⊥EF，∠HEF=90°。

∴四边形EFGH是矩形。故选D。

二、填空题

1. (江苏省常州市2002年1分)四边形的对角线互相垂直，顺次连结它的各边中点所得的四边形是

▲ .

【答案】矩形。

【考点】矩形的判定，三角形中位线定理。

【分析】根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形解答：

∵顺次连接四边的各边中点所得的四边形是平行四边形，当四边形的对角线互相垂直时，平行四边形的邻边也互相垂直，∴该四边形是是矩形。

2. (江苏省常州市2003年1分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，G、F、E、H分别是边AB、BC、CD、

DA的中 点，梯形ABCD的边满足条件 ▲ 时，四边形EFGH是菱形。

【答案】AC=BD。

【考点】三角形中位线定理，菱形的判定。

【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，故可添加：AC=BD。

如图，AC=BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EH=FG= BD，EF=HG= AC，

∴当AC=BD，有EH=FG=FG=EF，则四边形EFGH是菱形。

3. (江苏省常州市2004年2分)如图，点D是Rt△ABC的斜边AB上的一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，若AF=15，BE=10，则四边形DECF的面积是 ▲ 。

【答案】150。

【考点】矩形的判定和性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠DFC=∠C=∠DEC=90°，∴四边形DFCE是矩形。

∴DF∥BC，则∠ADF=∠B。又∵∠AFD=∠DEB，∴△ADF∽△DBE。

∴ ，即DE•DF=AF•BE=150。

∴四边形DFCE的面积=DE•DF=150。

4. (江苏省常州市2005年2分)如图，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于 ▲ cm，四边形EFGH的面积等于 ▲ cm2.

【答案】 ;8。

【考点】正方形的性质，三角形中位线定理。

【分析】根据已知可求得ABCD的边长及对角线的长，根据中位线的性质可得到EFGH的边长，从而可求得其周长及面积：

正方形ABCD的周长为16cm，则它的边长为4，对角线是 ，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，所以利用中线性质可得四边形EFGH的边长为 。

∴四边形EFGH的周长等于 。由正方形的定义可知四边形EFGH是正方形，所以面积等于8。

5. (江苏省2009年3分)如图，已知 是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为 ，则梯形ABCD的面积为 ▲ cm2.

【答案】16。

【考点】梯形中位线定理

【分析】根据已知△DEF的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积：

设梯形的高为h，

∵EF是梯形ABCD的中位线，∴△DEF的高为 。

∵△DEF的面积为 ，∴ 。

∴梯形ABCD的面积为 。

三、解答题

1. (江苏省常州市2002年8分)已知：在菱形ABCD中，∠BAD=600，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C的坐标为( )

(1) 画出符合题目条件的菱形与直角坐标系。

(2) 写出 A，B两点的坐标。

(3) 设菱形ABCD的对角线的交点为P，问：在y轴上是否存在一点F，使得点P与点F关于菱形ABCD

的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点F的坐标;如果不存在，请说明理由。(第37题不必写出计算过程)

【答案】解：(1)本题有两种情况。画图，如图所示：

图1 图2

(2)图1时：A(0，2)，B( );

图2时：A(0，14)，B( )

(3)图1时：F(0，8);

图2时：F(0，4)。

【考点】菱形的性质，坐标与图形性质，平行的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，含300角直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的判定。

【分析】(1)本题可分两种情况，如图。

(2)情况一，如图1，过C作CF⊥y轴于F，∠CDF=60°，CF= ，

∴ ， 。

∴OA=OF-AF=8-(4+2)=2。

∴A点坐标为(0，2)。

又∵菱形的边长为4，因此将C点坐标向下平移4个单位就是B点的坐标( )。

情况二，如图2，，过C作CF⊥y轴于F，∠CDF=60°，CF= ，

∴ ， 。

∴OA=OF+AF=8+(4+2)=14。

∴A点坐标为(0，14)。

又∵菱形的边长为4，因此将C点坐标向上平移4个单位就是B点的坐标( )。

(3)在(2)中所作的F点其实就是P点关于CD的对称点，理由如下：

设CD与FP相交于点E，根据菱形的性质可知：∠FAC=30°，

∴在Rt△FAC中，FC= AC=PC。

而∠DCF=∠DCP=30°，CE=CE，

∴△CFE≌△CPE(SAS)。

∴CD垂直平分PF，即可得出P、F关于CD对称。

由(2)即可得到两种情况下的点F 为(0，8)和(0，4)。

2. (江苏省常州市2003年6分)如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上

图中有 对四边形面积相等;他们是

。

【答案】解： 3;S▱AEPG=S▱PHCF、S▱ABHG=S▱EBCF、S▱AEFD=S▱CDGH。

【考点】平行四边形的性质

【分析】根据平行四边形的性质即可推出3对四边形的面积相等。

∵在平行四边形ABCD中，BD是对角线，

∴S△ABD=S△DBC，S△BEP=S△BHP，S△GPD=S△DPF。

让最大的三角形面积减去其他两个小三角形面积可得： ，都加上S▱EBHP可得

S▱ABHG=S▱EBCF，再都加上S▱GPFD可得：S▱AEFD=S▱CDGH。

S四边形ABPG=S△ABD-S△GPD=S△BCD-S△PFD=S四边形CBPF;

S四边形ADPE=S△ABD-S△EPB=S△CBD-S△HPB=S四边形CDPH。

∴图中有3对四边形面积相等，即：S▱AEPG=S▱PHCF、S▱ABHG=S▱EBCF、S▱AEFD=S▱CDGH。

3. (江苏省常州市2004年7分)已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：①AB∥CD;②OA=OC;③AB=CD;④∠BAD=∠DCB;⑤AD∥BC。

(1)从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有(用序号表示)：如①与⑤、 。

(2)对由以上5个条件中任意选取2个条件，不能推出四边形ABCD是平行四边形的，请选取一种情形举出反例说明。

4. (江苏省常州市2005年5分)如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，且F是BC的中点.