求证：DE=CF

【答案】证明：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形BDEF是平行四边形 。

∴DE=BF 。

∵F是BC的中点，∴BF=CF。

∴DE=CF。

【考点】平行四边形的判定和性质。

【分析】利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形BDEF是平行四边形;再根据平行四边形的对边相等可得DE=BF，由中点的定义可得BF=CF;由等量代换可得DE=C F。

5. (江苏省常州市2006年5分)已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交与点O，AB∥CD，AO=CO，

求证：四边形ABCD是平行四边形。

【答案】证明：∵ AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO。

∵AO=CO，∠AOB=∠COD ， ∴ △ABO≌△CDO(ASA)。

∴AB=CD。

∴四边形ABCD是平行四边形。

【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定。

【分析】要证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的判定，和已知条件，只需证AB=CD，继而需求证△ABO≌△CDO，由已知条件很快确定ASA，即证。

6. (江苏省常州市2006年6分)在平面直角坐标系中描出下列各点A(2，1)，B(0，1)，C( )，D(6， )，并将各点用线段一次连接构成一个四边形ABCD。

(1)四边形ABCD是什么特殊的四边形?答：

(2)在四边形ABCD内找一点P，使得△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形，请写出P点的坐标。

【答案】解：画图如下：

(1)等腰梯形。

(2)P点的坐标为 ，( )，( )， ， 。

【考点】坐标与图形性质，等腰梯形的判定，线段中垂线的性质，勾股定理。

【分析】(1)由A(2，1)，B(0，1)，C( )，D(6， )得AB∥DC，BC不平行于AD,

∴四边形ABCD是梯形。

又由勾股定理可得 ， ，

∴BC=AD。∴四边形ABCD是等腰梯形。

(2)①如图，作AB和BC的中垂线，二者交点P即为所求。

由线段中垂线的性质和等腰梯形的对称性，

得PA=PB=PC=PD，

∴△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形。

此时，由点P在AB的中垂线上，∴点P的横坐标为1。

设点P的坐标为(1，y)，由勾股定理，得

， 。

∴ ，解得 。

∴P的坐标为(1，-4)。

②如图，以点B为圆心BC长为半径交AB的中垂线于点P，

点P即为所求，此时有两点。

由线段中垂线的性质、圆的性质和等腰梯形的对称性，

得PA=PB=BC=AD，PC=PD，

∴△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形。

此时，由点P在AB的中垂线上，∴点P的横坐标为1。

设点P的坐标为(1，y)，由勾股定理，得

， 。

∴ ，解得 。

∴P的坐标为( )或( )。

③如图，以点C为圆心BC长为半径交AB的中垂线于点P，

点P即为所求，此时有两点。

由线段中垂线的性质、圆的性质和等腰梯形的对称性，

得PC=PD=BC=AD，PA=PB，

∴△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形。

此时，由点P在AB的中垂线上，∴点P的横坐标为1。

设点P的坐标为(1，y)，由勾股定理，得 ， 。

∴ ，解得 。

∴P的坐标为( )或( )。

④当△APB是以AB为腰或△CPD是以CD为腰的等腰三角形时，△BPC和△APD都不可能是等腰三角形(可以验证)。

综上所述，满足条件的点P的坐标为 ，( )，( )， ，

。

7. (江苏省常州市2007年5分)已知，如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC边于点E.

求证：BE=CD

【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD。∴∠DAE=∠BEA。

∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE。∴∠BAE=∠BEA。∴AB=BE。

又∵AB=CD，∴BE=CD。

【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定。

【分析】先根据平行四边形的性质，求出AB=CD，∠DAE=∠BEA，再根据角平分线的性质，确定∠BAE=∠DAE，结合等腰三角形等角对等级边的判定证出BE=CD。

8. (江苏省常州市2007年6分)如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等.

(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为 和 ，将菱形的“接近度”定义为 ，于是， 越小，菱形越接近于正方形.

①若菱形的一个内角为 ，则该菱形的“接近度”等于 ;

②当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形.

(2)设矩形相邻两条边长分别是 和 ( )，将矩形的“接近度”定义为 ，于是 越小，矩形越接近于正方形.

你认为这种说法是否合理?若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义.

【答案】解：(1)①40。②0。

(2)不合理。例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但 却不相等。

合理定义方法不唯一，如定义为 。 越小，矩形越接近于正方形; 越大，矩形与正方形的形状差异越大;当 时，矩形就变成了正方形。

【考点】新定义，菱形、矩形和正方形的判定和性质。

【分析】(1)①由菱形的一个内角为700，则另一个内角为1100。“接近度” 。

②根据正方形的判定，有一个角是直角的菱形是正方形，则由 得 。

(2)不合理。合理定义方法不唯一。

9. (江苏省常州市2007年9分)已知，如图，正方形 的边长为6，菱形 的三个顶点 分别在正方形 边 上， ，连接 .

(1)当 时，求 的面积;

(2)设 ，用含 的代数式表示 的面积;

(3)判断 的面积能否等于 ，并说明理由.

【答案】解：(1)∵正方形 的边长为6， ，∴ 。

又∵ ，∴ ，即菱形 的边长为 。

在 和 中，

， ， ，

∴ 。∴ 。

∵ ，∴ 。

∴ ，∴菱形 是正方形。

同理可以证明 。

∴ ，即点 在 边上，同时可得 。

∴ 。

(2)作 ， 为垂足，连结 。

∵ ，∴ 。

∵ ，∴ 。

∴ 。

在 和 中， ， ，

∴ 。

∴ 。

∴无论菱形 如何变化，点 到直线 的距离始终为定值2。

∴ 。

(3)若 ，由 ，得 。

此时，在 中， 。

相应地，在 中， ，即点 已经不在边 上。

故不可能有 。

【考点】正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，反证法的应用。

【分析】(1)由已知可用 证得 和 ，从而此时菱形 是正方形。同理可以证明 ，从而证得点 在 边上，同时可得 。面积可求。

(2)通过 的证明，得到无论菱形 如何变化，点 到直线 的距离始终为定值2的结论。 的面积可求。

(3)用反证法，先假设 ，得出与已知条件矛盾的结论。从而证明。

10. (江苏省常州市2008年7分)已知:如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且

EF=ED，EF⊥ED.

求证:AE平分∠BAD.

【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠BAD=90°，AB=CD。

∴∠BEF+∠BFE=90°。

∵EF⊥ED，∴∠BEF+∠CED=90°。

∴∠BFE=∠CED。∴∠BEF=∠CDE。

又∵EF=ED，∴△EBF≌△DCE(ASA)。

∴BE=CD。

∴BE=AB。∴∠BAE=∠BEA=45°。∴∠EAD=45°。

∴∠BAE=∠EAD。∴AE平分∠BAD。

【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质。

【分析】要证AE平分∠BAD，可转化为△ABE为等腰直角三角形，得AB=BE，又AB=CD，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定，和矩形的性质，可确定ASA.即求可得证。

11. (江苏省2009年10分)如图，在梯形 中， 两点在边 上，且四边形 是平行四边形.

(1) 与 有何等量关系?请说明理由;

(2)当 时，求证： 是矩形.

【答案】解：(1)AD= BC。理由如下：

∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，

∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形。

∵AD=BE,AD=FC，

又 四边形AEFD是平行四边形，∴AD=EF。

∴AD=BE=EF=FC。∴AD= BC。

(2)证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，∴DE=AB,AF=DC。

∵AB=DC，∴DE=AF。

又∵四边形AEFD是平行四边形，∴四边形AEFD是矩形。

【考点】梯形，平行四边形的判定和性质，矩形的判定。

【分析】(1)由题中所给平行线，不难得出四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，而四边形AEFD也是平行四边形，三个平行四边形都共有一条边AD，所以可得出AD= BC的结论。

(2)根据矩形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形.只要证明DE=AF即可得出结论。

12. (江苏省常州市2010年7分)如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点。四边形ABDE是平行四边形。

求证：四边形ADCE是矩形。

13. (2011江苏常州7分)已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB的中点。求证：四边形BCDE是菱形

【考点】梯形, 等腰三角形，直角三角形，平行，菱形。

15. (2012江苏常州7分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。

求证：AE=AF。

【答案】证明：连接CE。

∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，。

又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO(AAS)。

∴AE=CF。∴四边形AECF是平行四边形。

又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。

∴AE=AF。

【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】由已知，根据AAS可证得△AEO≌△CFO，从而得AE=CF。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。由EF⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。根据菱形四边相等的性质和AE=AF。

16. (2012江苏常州9分)已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点(点P异于C、D两点)。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图)。设CP=x，DE=y。

(1)写出y与x之间的函数关系式 ▲ ;

(2)若点E与点A重合，则x的值为 ▲ ;

(3)是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上?若存在，求x的值;若不存在，请说明理由。

【答案】解：(1)y=-x2+4x。

(2) 或 。

(3)存在。

过点P作PH⊥AB于点H。则

∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，

∴P D′=PD=4-x，E D′=ED= y=-x2+4x，EA=AD-ED= x2-4x+2，∠P D′E=∠D=900。

在Rt△D′P H中，PH=2， D′P =DP=4-x，D′H= 。

∵∠ E D′A=1800-900-∠P D′H=900-∠P D′H=∠D′P H，∠P D′E=∠P HD′ =900，

∴△E D′A∽△D′P H。∴ ，即 ，

即 ，两边平方并整理得，2x2-4x+1=0。解得 。

∵当 时，y= ，

∴此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去(实际上是无理方程的增根)。

∵当 时，y= ，

∴此时，点E在边AD上，符合题意。

∴当 时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。

【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。

【分析】(1)∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4-x，且△MCP∽△PDE，

∴ ，即 。∴y=-x2+4x。

(2)当点E与点A重合时，y=2，即2=-x2+4x，x2-4x+2=0。

解得 。

(3)过点P作PH⊥AB于点H，则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，可得△E D′A与△D′P H相似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。

2012中考科目：

【中考语文】【中考数学】【中考英语】【中考物理】【中考化学】

【中考政治】【中考历史】【中考生物】【中考地理】 【中考体育】

2012中考考前： 

【中考动态】【中考心理辅导】 【中考家长】【中考饮食】 【中考政策】

2012中考考后：

【中考动态】 【中考成绩查询】【中考志愿填报】  【中考分数线】

【中考录取查询】 【中考状元】【中考择校】