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定值问题2012年中考压轴题(含答案)

2012年全国中考数学(续61套)压轴题分类解析汇编

专题5：定值问题

6. (2012湖北咸宁10分)如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若 ，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形.图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8.

理解与作图：

(1)在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的

反射四边形EFGH.

计算与猜想：

(2)求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值?

启发与证明：

(3)如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我

们的启发证明(2)中的猜想.

【答案】解：(1)作图如下：

(2)在图2中， ，

∴四边形EFGH的周长为 。

在图3中， ， ，

∴四边形EFGH的周长为 。

猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。

(3)延长GH交CB的延长线于点N，

∵ ， ，

∴ 。

又∵FC=FC，

∴Rt△FCE≌Rt△FCM(ASA)。

∴EF=MF，EC=MC。

同理：NH=EH，NB=EB。∴MN=2BC=16。

∵ ， ， ，∴ 。

∴GM=GN。

过点G作GK⊥BC于K，则 。

∴ 。

∴四边形EFGH的周长为 。∴矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。

【考点】新定义，网格问题，作图(应用与设计作图)，勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质。

【分析】(1)根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形。

(2)图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后即可得到周长，图3中利用勾股定理求出EF=GH，FG=HE的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH的周长是定值。

(3)延长GH交CB的延长线于点N，再利用“ASA”证明Rt△FCE和Rt△FCM全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，从而得到MN=2BC，再证明GM=GN，过点G作GK⊥BC于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出 ，再利用勾股定理求出GM的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长。

7. (2012福建泉州12分)已知：A、B、C不在同一直线上.

(1)若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，

i)如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度;

ii)如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A= ;

(2).若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN(B、C均与点A不重合)滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变?请说明理由.

【答案】解：(1)i)∵∠A=45°，

∴∠BOC=90°(同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半)。

又∵R=1，∴由勾股定理可知BC= 。

ii)证明：连接BO并延长，交圆于点E，连接EC。

可知EC⊥BC(直径所对的圆周角为90°)，

且∠E=∠A(同弧所对的圆周角相等)。

故sin∠A=sin∠A= 。

(2)保持不变。理由如下：

如图，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，

在Rt△APC中，CK= AP=AK=PK。

同理得：BK=AK=PK。

∴CK=BK=AK=PK。∴点A、B、P、C都在⊙K上。

∴由(1)ii)sin∠A= 可知sin60°= 。

∴AP= (为定值)。

【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形中线性质。

【分析】(1)i)根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC的长;

ii)作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，利用sin∠A=sin∠E= ，得出即可。

(2)首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin∠A= ，得出AP= (定值)即可。

8. (2012四川自贡12分)如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC.CD上滑动，且E、F不与B.C.D重合.

(1)证明不论E、F在BC.CD上如何滑动，总有BE=CF;

(2)当点E、F在BC.CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化?如果不变，求出这个定值;如果变化，求出最大(或最小)值.

【答案】解：(1)证明：如图，连接AC

∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，

∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，

∴∠BAE=∠FAC。

∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。

∴△ABC和△ACD为等边三角形。

∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。

∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，

∴△ABE≌△ACF(ASA)。∴BE=CF。

(2)四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下：

由(1)得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。

∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。

作AH⊥BC于H点，则BH=2，

。

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短.

故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，

又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大.

∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF 。

∴△CEF的面积的最大值是 。

【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。

【分析】(1)先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠ACF =60°，AC=AB，从而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。

(2)由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短.△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大。

9. (2012四川成都12分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 ( 为常数)的图象与x轴交于点A( ，0)，与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线 (a，b，c为常数，且a≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B.

(1)求 的值及抛物线的函数表达式;

(2)设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积;若不存在，请说明理由;

(3)若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于 两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程.

【答案】解：(1)∵ 经过点(﹣3，0)，∴ ，解得 。

∴直线解析式为 。

令x=0，得 。∴C(0， )。

∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A(﹣3，0)，

∴另一交点为B(5，0)。

设抛物线解析式为y=a(x+3)(x﹣5)，

∵抛物线经过C(0， )，∴ =a•3(﹣5)，解得 。

∴抛物线解析式为y= (x+3)(x﹣5)，即 。

(2)假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

则AC∥EF且AC=EF，如答图1。

(i)当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，

∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG。

又∵∠COA=∠EOF=900，AC=EF，∴△CAO≌△EFG(AAS)。

∴EG=CO= ，即yE= 。

∴ ，解得xE=2(xE=0与C点重合，舍去)。

∴E(2， )，S▱ACEF= 。

(ii)当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，

同理可求得E′( )，S▱ACE′F′= 。

(3)要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可。

如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小(AP+CP最小值为线段BC的长度)。

∵B(5，0)，C(0， )，

∴直线BC解析式为 。

∵xP=1，∴yP=3，即P(1，3)。

令经过点P(1，3)的直线为y=kx+3﹣k，

联立 得

x2+(4k﹣2)x﹣4k﹣3=0，

∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3。

∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，∴y1﹣y2=k(x1﹣x2)。

根据勾股定理得：

M1M2=

，

M1P= ，

M2P= 。

∴M1P•M2P=

∴M1P•M2P=M1M2。∴ =1为定值。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。

【分析】(1)把点A的坐标代入 即可求出 的值。由抛物线的对称轴和点A的坐标可得抛物线与x轴另一交点B的坐标，从而设抛物线的交点式，由点C在抛物线求出待定系数得到抛物线解析式。

(2)分点E在x轴上方和下方两种情况讨论即可。

(3)设出M1M2的解析式，与抛物线联立，根据一元二次方程根与系数的关系得M1、M2两点坐标的关系：x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3，y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k， y1﹣y2=k(x1﹣x2)。由勾股定理表示出M1M2、M1P和M2P，化简即可求证。

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