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由运动产生的线段2012年中考压轴题(含答案)

2012年全国中考数学(续61套)压轴题分类解析汇编

专题6：由运动产生的线段和差问题

4. (2012湖北恩施8分)如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N.其顶点为D.

(1)抛物线及直线AC的函数关系式;

(2)设点M(3，m)，求使MN+MD的值最小时m的值;

(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能，求点E的坐标;若不能，请说明理由;

(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值.

【答案】解：(1)由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1，0)及C(2，3)得，

，解得 。∴抛物线的函数关系式为 。

设直线AC的函数关系式为y=kx+n，由直线AC过点A(﹣1，0)及C(2，3)得

，解得 。

∴直线AC的函数关系式为y=x+1。

(2)作N点关于直线x=3的对称点N′，

令x=0，得y=3，即N(0，3)。

∴N′(6， 3)

由 得

D(1，4)。

设直线DN′的函数关系式为y=sx+t，则

，解得 。

∴故直线DN′的函数关系式为 。

根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M(3，m)在直线DN′上时，MN+MD的值最小，

∴ 。

∴使MN+MD的值最小时m的值为 。

(3)由(1)、(2)得D(1，4)，B(1，2)，

①当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN是平行四边形，此时，点E与点C重合，即E(2，3)。

②当BD为平行四边形边时，

∵点E在直线AC上，∴设E(x，x+1)，则F(x， )。

又∵BD=2

∴若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EF。

∴ ，即 。

若 ，解得，x=0或x=1(舍去)，∴E(0，1)。

若 ，解得， ，∴E 或E 。

综上，满足条件的点E为(2，3)、(0，1)、 、 。

(4)如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G，

设Q(x，x+1)，则P(x，﹣x2+2x+3)。

∴ 。

∴

。

∵ ，

∴当 时，△APC的面积取得最大值，最大值为 。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值。

【分析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。

(2)根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N′，当M(3，m)在直线DN′上时，MN+MD的值最小。

(3)分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。

(4)如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G，设Q(x，x+1)，则P(x，﹣x2+2x+3)，求得线段PQ=﹣x2+x+2。由图示以及三角形的面积公式知 ，由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值。

5. (2012湖北黄冈14分)如图，已知抛物线的方程C1: 与x 轴相交于点B、

C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧.

(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值.

(2)在(1)的条件下，求△BCE的面积.

(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标.

(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m的值;若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)∵抛物线C1过点M(2，2)，∴ ，解得m=4。

(2)由(1)得 。

令x=0，得 。∴E(0，2)，OE=2。

令y=0，得 ，解得x1=-2，x=4。

∴B(-2，，0)，C(4，0)，BC=6。

∴△BCE的面积= 。

(3)由(2)可得 的对称轴为x=1。

连接CE，交对称轴于点H，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时BH+EH最小。

设直线CE的解析式为 ，则

，解得 。∴直线CE的解析式为 。

当x=1时， 。∴H(1， )。

(4)存在。分两种情形讨论：

①当△BEC∽△BCF时，如图所示。

则 ，∴BC2=BE•BF。

由(2)知B(-2，0)，E(0，2)，即OB=OE，

∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°。

作FT⊥x轴于点F，则BT=TF。

∴令F(x，-x-2)(x>0)，

又点F在抛物线上，∴-x-2= ，

∵x+2>0(∵x>0)，∴x=2m，F(2m，-2m-2)。

此时 ，

又BC2=BE•BF，∴(m+2)2= • ，解得m=2± 。

∵m>0，∴m= +2。

②当△BEC∽△FCB时，如图所示。

则 ，∴BC2=EC•BF。

同①，∵∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE，

∴ 。

∴令F(x，- (x+2))(x>0)，

又点F在抛物线上，∴- (x+2)= 。

∵x+2>0(∵x>0)，

∴x=m+2。∴F(m+2，- (m+4))， ，BC=m+2。

又BC2=EC•BF，∴(m+2)2= .

整理得：0=16，显然不成立。

综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m= +2。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)将点(2，2)的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值。

(2)求出B、C、E点的坐标，从而求得△BCE的面积。

(3)根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点。

(4)分两种情况进行讨论：

①当△BEC∽△BCF时，如图所示，此时可求得 +2。

②当△BEC∽△FCB时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存在。

6. (2012湖南郴州10分)如图，已知抛物线 经过A(4，0)，B(2，3)，C(0，3)三点.

(1)求抛物线的解析式及对称轴.

(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标.

(3)在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形?若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)∵抛物线 经过A(4，0)，B(2，3)，C(0，3)三点，

∴ ，解得 。

∴抛物线的解析式为： ，其对称轴为： 。

(2)由B(2，3)，C(0，3)，且对称轴为x=1，可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点。

如图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，则MA+MB=MA+MC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MA+MB的值最小。

设直线AC的解析式为y=kx+b，

∵A(4，0)，C(0，3)，∴ ，解得 。

∴直线AC的解析式为：y= x+3。

令x=1，得y= 。∴M点坐标为(1， )。

(3)结论：存在。

如图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：

①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1。

由B(2，3)，C(0，3)，可知BC∥x轴，则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。

在 中令y=0，解得x1=-2，x2=4。

∴P1(-2，0)。

∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC。

∴四边形ABCP1为梯形。

②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2。

设CP2与x轴交于点N，

∵BC∥x轴，AB∥CP2，∴四边形ABCN为平行四边形。∴AN=BC=2。∴N(2，0)。

设直线CN的解析式为y=k1x+b1，则有： ，解得 。

∴直线CN的解析式为：y= x+3。

∵点P2既在直线CN：y= x+3上，又在抛物线： 上，

∴ x+3= ，化简得：x2-6x=0，解得x1=0(舍去)，x2=6。

∴点P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为-6。∴P2(6，-6)。

∵ ABCN，∴AB=CN，而CP2≠CN，∴CP2≠AB。∴四边形ABCP2为梯形。

综上所述，在抛物线上存在点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形，点P的坐标为(-2，0)或(6，-6)。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，

线段最短的性质，梯形的判定。

【分析】(1)已知抛物线上三点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由对称轴公式 求出对称轴。

(2)如图1所示，连接AC，则AC与对称轴的交点即为所求之M点;已知点A、C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而求出点M的坐标。

(3)根据梯形定义确定点P，如图2所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1.此时P1为抛物线与x轴的另一个交点，解一元二次方程即可求得点P1的坐标;②若AB∥CP2，确定梯形ABCP2.此时P2位于第四象限，先确定CP2与x轴交点N的坐标，然后求出直线CN的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标。

7. (2012四川自贡14分)如图，抛物线l交x轴于点A(﹣3，0)、B(1，0)，交y轴于点C(0，﹣3).将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1.

(1)求l1的解析式;

(2)在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由;

(3)平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径.

【答案】解：(1)如图1，设经翻折后，点A.B的对应点分别为A1、B1，

依题意，由翻折变换的性质可知A1(3，0)，B1(﹣1，0)，C点坐标不变，

∴抛物线l1经过A1(3，0)，B1(﹣1，0)，C(0，﹣3)三点，

设抛物线l1的解析式为y=ax2+bx+c，则

，解得 。

∴抛物线l1的解析式为：y=x2﹣2x﹣3。

(2)抛物线l1的对称轴为：x= ，

如图2，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求。

此时，|PA1﹣PC|=|PB1﹣PC|=B1C。

设P′为对称轴x=1上不同于点P的任意一点，

则有：|P′A﹣P′C|=|P′B1﹣P′C|

∴|P′A﹣P′C|<|PA1﹣PC|，即|PA1﹣PC|最大。

设直线B1C的解析式为y=kx+b，则

，解得k=b=﹣3。∴直线B1C的解析式为：y=﹣3x﹣3。

令x=1，得y=﹣6。∴P(1，﹣6)。

(3)依题意画出图形，如图3，有两种情况：

①当圆位于x轴上方时，设圆心为D，半径为r，

由抛物线及圆的对称性可知，点D位于对称轴x=1上，则D(1，r)，F(1+r，r)。

∵点F(1+r，r)在抛物线y=x2﹣2x﹣3上，

∴r=(1+r)2﹣2(1+r)﹣3，化简得：r2﹣r﹣4=0

解得r1= ，r2= (舍去)。

∴此圆的半径为 ;

②当圆位于x轴上方时，同理可求得圆的半径为 。

综上所述，此圆的半径为 或 。

【考点】二次函数综合题，翻折变换的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的轴对称性质，三角形三边关系，直线和圆的位置关系，解一元二次方程和二元一次方程组。

【分析】(1)根据翻折变换的性质，求得A1和B1的坐标，用待定系数法即可求得抛物线l1的解析式，

(2)根据三角形两边之差小于第三边的性质即可知，B1C的延长线与对称轴x=1的交点P，即为所求。求出B1C的解析式即可求得点P的坐标。

(3)设圆心为D，半径为r，根据直线与圆相切的性质知D(1，r)，F(1+r，r)。由于点F在抛物线l1上，代入即可求得r。分圆位于x轴上方和下方两种情况讨论即可。

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