不与B、C重合).以AD为边作正方形ADEF，连接CF.

(1)如图1，当点D在线段BC上时，求证：① BD⊥CF. ② CF=BC-CD.

(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间

的关系;

(3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.

②若连接正方形对角线AE、DF,交点为O,连接OC,探究△AOC的形状，并说明理由.

【答案】解：(1)证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°。

∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。

∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。

∴△BAD≌△CAF(SAS)。 ∴∠ACF=∠ABD=45°。∴∠ACF+∠ACB=90°。∴BD⊥CF 。

② 由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，

∵BD=BC-CD，∴CF=BC-CD。

(2)CF=BC+CD。

(3)①CF=CD-BC 。

②△AOC是等腰三角形。理由如下：

∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°。则∠ABD=180°-45°=135°。

∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。

∵∠BAD=∠DAF -∠BAF，∠CAF=∠BAC -∠BAF，∴∠BAD=∠CAF。

∴△BAD≌△CAF(SAS)。∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°。

∴∠FCD=∠ACF -∠ACB =90°，则△FCD为直角三角形。

∵正方形ADEF中，O为DF中点，∴OC= DF 。

∵在正方形ADEF中，OA= AE ，AE=DF，∴OC=OA。∴△AOC是等腰三角形。

【考点】动点问题，正方形的性质，等腰(直角)三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质。

【分析】(1)由已知，根据正方形和等腰直角三角形的性质，通过SAS证出△BAD≌△CAF，从而得到

∠ACF=∠ABD=45°，即可证得BD⊥CF。

由△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=BC-CD，从而CF=BC-CD。

(2)同(1)可证△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=BC+CD，从而CF=BC+CD。

(3)①同(1)可证△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=CD-BC，从而CF= CD-BC。

②通过SAS证明△BAD≌△CAF，得∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°。从而得到∠FCD=90°。

由三角形中线的性质得到OC= DF。由正方形ADEF中，OA= AE ，AE=DF，从而得到△AOC是等腰三角形。

37. (2012河南省10分)类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.

原题：如图1，在□ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若 ，求 的值。

(1)尝试探究

在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ， 的值是

(2)类比延伸

如图2，在原题的条件下，若 则 的值是 (用含 的代数式表示)，试写出解答过程。

(3)拓展迁移

如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若 ABCD，则 的值是 (用a，b含的代数式表示).

【答案】解：(1)AB=3EH;CG=2EH; 。

(2) 。

如图，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB。

∴ 。∴AB=mEH。

∵AB=CD，∴CD=mEH 。

∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG。

∴ 。∴CG=2EH。

∴ 。

(3)ab。

【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。

【分析】(1)本问体现“特殊”的情形， 是一个确定的数值。

依题意，如图，过点E作EH∥AB交BG于点H，

则有△ABF∽△HEF。∴ 。∴AB=3EH。

∵□ABCD，EH∥AB，∴EH∥CD。

又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG=2EH， 。

(2)本问体现“一般”的情形， 不再是一个确定的数值，但(1)问中的解题方法依然适用。

(3)本问体现“类比”与“转化”的情形，将(1)(2)问中的解题方法推广转化到梯形中：

如图所，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD。

∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH。

∴ 。∴CD=bEH。

又∵ ，∴AB=aCD=abEH。

∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF。∴ 。

38. (2012河北省12分)如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC= .

探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH= ，AC= ，△ABC的面积S△ABC= ;

拓展：如图2，点D在AC上(可与点A，C重合)，分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n(当点D与点A重合时，我们认为S△ABD=0)

(1)用含x，m，n的代数式表示S△ABD及S△CBD;

(2)求(m+n)与x的函数关系式，并求(m+n)的最大值和最小值;

(3)对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围.

发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程)，并写出这个最小值.

【答案】解：探究：12;15;84。

拓展：(1)由三角形面积公式，得

， 。

(2)由(1)得 ， ，

∴

∵△ABC中AC边上的高为 ，

∴x的取值范围为 。

∵ 随x的增大而减小，

∴当 时， 的最大值为15，当 时， 的最小值为12。

(3)x的取值范围为 或 。

发现：直线AC，A、B、C三点到这条直线的距离之和最小，最小值为 。

【考点】动点问题，锐角三角函数定义，特殊角有三角函数值，勾股定理， 垂直线段的性质，反比例函数的性质。

【分析】探究：在Rt△ABH中，AB=13， ，∴BH=AB 。

∴根据勾股定理，得 。

∵BC=14，∴HC=BC-BH=9。∴根据勾股定理，得 。

∴ 。

拓展：(1)直接由三角形面积公式可得。

(2)由(1)和 即可得到 关于x的反比例函数关系式。根据垂直线段最短的性质，当BD⊥AC时，x最小，由面积公式可求得;因为AB=13，BC=14，所以当BD=BC=14时，x最大。从而根据反比例函数的性质求出m+n)的最大值和最小值。

(3)当 时，此时BD⊥AC，在线段AC上存在唯一的点D;当 时，此时在线段AC上存在两点D;当 时，此时在线段AC上存在唯一的点D。因此x的取值范围为 或 。

发现：由拓展(2)知，直线AC，A、B、C三点到这条直线的距离之和(即△ABC中AC边上的高)最小，最小值为 (它小于BC边上的高12和AB边上的高 )。

39. (2012吉林省10分)问题情境

如图，在x轴上有两点A(m，0)，B(n，0)(n>m>0).分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线y=x2于点C、点D.直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F，点E、点F的纵坐标分别记为yE，yF.

特例探究

填空：

当m=1，n=2时，yE= ，yF= ;

当m=3，n=5时，yE= ，yF= .

归纳证明

对任意m，n(n>m>0)，猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想.

拓展应用

(1)若将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=ax2(a>0)”，其他条件不变，请直接写出yE与yF的大小关系;

(2)连接EF，AE.当 时，直接写出m与n的关系及四边形OFEA的形状.

【答案】解：特例探究：2，2;15，15。

归纳证明： 。证明如下：

对任意m，n(n>m>0)时， ， ，所以直线OC的解析式为： ;直线OD的解析式为： ;此时

解 得， ，∴ ;解 得， ，∴ 。

∴此时 。

拓展应用：(1) 。

(2)n=2m;四边形OFEA是平行四边形。

【考点】一次函数、二次函数综合运用，函数图象上的点与函数解析式的关系，平行四边形的判定。

【分析】特例探究：

当m=1，n=2时，C(1，1)，D(2，4)，所以直线OC的解析式为： ;直线OD的解析式为： ;此时，

解 得，E(2，2)，∴yE=2;.解 得，F(1，2)，∴yF=2。

∴此时 。

当m=3，n=5时，C(3，9)，D(5，25)，所以直线OC的解析式为： ;直线OD的解析式为： ;此时，

解 得，E(5，15)，∴yE=15;解 得，F(3，15)，∴yF=15。.

∴此时 。

归纳证明：与特例探究的求法类同。

拓展应用：(1)若将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=ax2(a>0)”，其他条件不变，仍然有： 。

此时， ， ，所以直线OC的解析式为： ;直线OD的解析式为： ;此时

解 得， ，∴ ;解 得， ，∴ 。

∴此时 。

(2)由 得

化简，得n=2m。

由n=2m得OB=2OA，∴EF=AB=OA。

又∵ 且EB⊥x轴，FA x轴，∴EF∥AB。

∴四边形OFEA是平行四边形。

40. (2012青海省10分)如图(*)，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F.请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题.

(1)探究1：小强看到图(*)后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等(一个是直角三角形，一个是钝角三角形)，考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：

证明：如图1，取AB的中点M，连接EM.

∵∠AEF=90°

∴∠FEC+∠AEB=90°

又∵∠EAM+∠AEB=90°

∴∠EAM=∠FEC

∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点

∴AM=EC

又可知△BME是等腰直角三角形

∴∠AME=135°

又∵CF是正方形外角的平分线

∴∠ECF=135°

∴△AEM≌△EFC(ASA)

∴AE=EF

(2)探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论.

(3)探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢?若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由.

【答案】解：(2)探究2，证明：在AB上截取AM=EC，连接ME，

由(1)知∠EAM=∠FEC。

∵AM=EC，AB=BC，∴BM=BE。∴∠BME=45°。

∴∠AME=∠ECF=135°。

∵∠AEF=90°，∴∠FEC+∠AEB=90°。

又∵∠EAM+∠AEB=90°，∴∠EAM=∠FEC。

在△AEM和△EFC中，∵∠AME=∠ECF，∠AME=∠ECF，∠EAM=∠FEC，

∴△AEM≌△EFC(ASA)。∴AE=EF。

(3)探究3：成立。证明如下：

延长BA到M，使AM=CE，连接ME，

∴BM=BE。∴∠BME=45°。∴∠BME=∠ECF。

又∵AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA。

又∵∠MAD=∠AEF=90°，

∴∠DAE+∠MAD=∠BEA+∠AEF，

即∠MAE=∠CEF。

在△MAE和△CEF中，∵∠BME=∠ECF，AM=CE，∠MAE=∠CEF，

∴△MAE≌△CEF(ASA)。∴AE=EF。

【考点】正方形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】(2)在AB上截取AM=EC，然后证明∠EAM=FEC，∠AME=∠ECF=135°，再利用“ASA”证明△AEM和△EFC全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明。

(3)延长BA到M，使AM=CE，然后证明∠BME=45°，从而得到∠BME=∠ECF，再利用两直线平行，内错角相等证明∠DAE=∠BEA，然后得到∠MAE=∠CEF，再利用“ASA”证明△MAE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证。

41. (2012青海西宁12分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，O在

x轴的正半轴上，已知A(0，4)、C(5，0).作∠AOC的平分线交AB于点D，连接CD，过点D作DE⊥CD

交OA于点E.

(1)求点D的坐标;

(2)求证：△ADE≌△BCD;

(3)抛物线y= 4 5x2- 24 5x+4经过点A、C，连接AC.探索：若点P是x轴下方抛物线上一动点，过

点P作平行于y轴的直线交AC于点M.是否存在点P，使线段MP的长度有最大值?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠DOC。

∵四边形AOCB是矩形，∴AB∥OC。∴∠AOD=∠DOC。∴∠AOD=∠ADO。

∴OA=AD(等角对等边)。

∵A点的坐标为(0，4)，∴D点的坐标为(4，4)。

(2)证明：∵四边形AOCB是矩形，∴∠OAB=∠B=90°，BC=OA。

∵OA=AD，∴AD=BC。

∵ED⊥DC，∴∠EDC=90°。∴∠ADE+∠BDC=90°。∴∠BDC+∠BCD=90°。

∴∠ADE=∠BCD。

在△ADE和△BCD中，∵∠DAE=∠B，AD=BC，∠ADE=∠BCD，

∴△ADE≌△BCD(ASA)。

(3)存在。

∵二次函数的解析式为：y= 4 5x2- 24 5x+4，点P是抛物线上的一动点，∴设P点坐标为(t， 4 5t 2- 24 5t+4 )。

设AC所在的直线的函数关系式为y=kx+b，

∵A(0，4)、C(5，0)，∴ ，解得 。

∴直线AC的解析式为y= x+4。

∵PM∥y轴，∴M(t， t+4)。

∴PM= 。

∴当t= 时，PM有最大值为5。

∴所求的P点坐标为( ，-3)。

【考点】二次函数综合题，矩形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。

【分析】(1)根据OD平分∠AOC，可得∠AOD=∠DOC，再由AOBC是矩形，得到∠AOD=∠ADO，根据等角对等边可得到OA=AD，从而求出D点坐标。

(2)由四边形AOCB是矩形，得到∠OAB=∠B=90°，BC=OA，从而证明出AD=BC，再根据角之间的等量关系∠ADE=∠BCD，于是可证明出△ADE≌△BCD。

(3)设P点坐标为(t， 4 5t 2- 24 5t+4 )，设AC所在的直线的函数关系式为y=kx+b，根据A(0，4)、C(5，0)，求出AC的解析式，进而用t表示出PM的长，利用二次函数的性质求出PM的最值，点P的坐标也可以求出。

42. (2012山东淄博9分)如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E(3，4).

(1)求反比例函数的解析式;

(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线 过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标;

(3)连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明.

【答案】解：(1)设反比例函数的解析式 ，

∵反比例函数的图象过点E(3，4)，∴ ，即 。

∴反比例函数的解析式 。

(2)∵正方形AOCB的边长为4，∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4。

∵点D在反比例函数的图象上，∴点D的纵坐标为3，即D(4,3)。

∵点D在直线 上，∴ ，解得 。

∴直线DF为 。

将 代入 ，得 ，解得 。∴点F的坐标为(2，4)。

(3)∠AOF= ∠EOC。证明如下：

在CD上取CG=CF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H。

∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=900，AF=CG=2，

∴△OAF≌△OCG(SAS)。∴∠AOF=∠COG。

∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=900，BG=CG=2，

∴△EGB≌△HGC(AAS)。∴EG=HG。

设直线EG： ，

∵E(3，4)，G(4，2)，

∴ ，解得， 。

∴直线EG： 。

令 ，得 。∴H(5，0)，OH=5。

在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理，得OE=5。∴OC=OE。

∴OG是等腰三角形底边EF上的中线。∴OG是等腰三角形顶角的平分线。

∴∠EOG=∠GOH。∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF= ∠EOC。

【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质。

【分析】(1)将点E(3，4)代入待定的反比例函数解析式即可求得反比例函数的解析式。

(2)求出点D的坐标代入 即可求出直线DF的解析式，令 即可求得点F的坐标。

(3)在CD上取CG=CF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H。通过证△OAF≌△OCG(SAS)和△EGB≌△HGC(AAS)得到∠AOF=∠COG和EG=HG。求出直线EG的解析式从而得到点H的坐标，从而得到OH的长。在Rt△AOF中，应用勾股定理求得OE的长。因此得到OG是等腰三角形底边EF上的中线的结论，根据等腰三角形三线合一的性质得OG是等腰三角形顶角的平分线。从而得∠AOF= ∠EOC。

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