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面积问题2012年中考压轴题(含答案)

2012年全国中考数学(续61套)压轴题分类解析汇编

专题3：面积问题

21. (2012黑龙江大庆8分) 已知半径为1cm的圆，在下面三个图中AC=10cm，AB=6cm，BC=8cm，在图2中∠ABC=90°.

(1)如图1，若将圆心由点A沿A C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积;

(2)如图2，若将圆心由点A沿A B C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积;

(3)如图3，若将圆心由点A沿A B C A方向运动回到点A.

则I)阴影部分面积为_ ___;Ⅱ)圆扫过的区域面积为__ __.

【答案】解：(1)由题意得，圆扫过的面积=DE×AC+πr2=(20+π)cm2。

(2)圆扫过的区域面积=AB的面积+BC的面积-一个圆的面积。

结合(1)的求解方法，可得所求面积

=(2r×AB+πr2)+(2r×BC+πr2)﹣πr2=2r(AB+BC)+πr2=(28+π)cm2。

(3)I) cm2;Ⅱ)( +π)cm2。

【考点】圆的综合题，运动问题，锐角三角函数定义。

【分析】(1)根据图形可得，圆扫过的面积等于一个长为AC，宽为直径的矩形面积，加上一个圆的面积，从而求解即可。

(2)根据(1)的计算方法，由点A沿A→B→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积，等于AB的面积+BC的面积﹣一个圆的面积。

(3)作出如下图形，利用解直角三角形的知识求出HE、HF、DN、MN，则可求出阴影部分的两条直角边，也可得出扫描后的面积：

由题意得，EF=2r=2cm， cm，

cm。

MD=2r=2cm，

cm，

cm。

故可得扫过的面积

=图2的面积+S△HEF+S△DMN+S矩形EFMD

=28+π+ + + =( +π)cm2。

阴影部分的两条直角边分别为：AB﹣r﹣HF= cm、AC﹣r﹣MN= cm，

故阴影部分的面积为： (cm2)。

22. (2012湖北咸宁12分)如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为(0，4)，动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点.将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转 ，得到线段AB.过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D.运动时间为t秒.

(1)当点B与点D重合时，求t的值;

(2)设△BCD的面积为S，当t为何值时， ?

(3)连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线 的顶点在△ABM内部(不包括边)，求a的取值范围.

【答案】解：(1)∵ ，∴ 。∴Rt△CAO∽Rt△ABE。

∴ ，即 ，解得 。

(2)由Rt△CAO∽Rt△ABE可知： ， 。

当0< <8时， ，解得 。

当 >8时， ，

解得 ， (为负数，舍去)。

当 或 时， 。

(3)过M作MN⊥x轴于N，则 。

当MB∥OA时，BE=MN=2，OA=2BE=4。

∵ ，

∴抛物线 的顶点坐标为(5， )。

∴它的顶点在直线 上移动。

∵直线 交MB于点(5，2)，交AB于点(5，1)，

∴1< <2。∴ < < 。

【考点】动点问题，旋转的性质，矩形的性质，直角三角形两锐角的关系，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，二次函数的性质。

【分析】(1)由Rt△CAO∽Rt△ABE得到 ，根据点B与点D重合的条件，代入CA=2AM=2AB，AO=1•t= t，BE(DE)=OC=4，即可求得此时t的值。

(2)分0< <8和 >8两种情况讨论即可。

(3)求出抛物线 的顶点坐标为(5， )，知它的顶点在直线 上移动。由抛物线 的顶点在△ABM内部(不包括边)得1< <2，解之即得a的取值范围。

23. (2012湖北荆州12分)如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE.已知tan∠CBE= ，A(3，0)，D(﹣1，0)，E(0，3).

(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标;

(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线;

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由;

(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0

【答案】解：(1)∵抛物线经过点A(3，0)，D(﹣1，0)，∴设抛物线解析式为y=a(x﹣3)(x+1)。

将E(0，3)代入上式，解得：a=﹣1。

∴抛物线的解析式为y=-(x﹣3)(x+1)，即y=﹣x2+2x+3。

又∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴点B(1，4)。

(2)证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4).

在Rt△AOE中，OA=OE=3，

∴∠1=∠2=45°， 。

在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，

∴∠MEB=∠MBE=45°， 。

∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°。

∴AB是△ABE外接圆的直径。

在Rt△ABE中， ，∴∠BAE=∠CBE。

在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°。∴∠CBA=90°，即CB⊥AB。

∴CB是△ABE外接圆的切线。

(3)存在。点P的坐标为(0，0)或(9，0)或(0，﹣ )。

(4)设直线AB的解析式为y=kx+b.

将A(3，0)，B(1，4)代入，得 ，解得 。

∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6。

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x= ，∴F( ，3)。

情况一：如图2，当0

则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L.

由△AHD∽△FHM，得 ，即 ，解得HK=2t。

∴

= ×3×3﹣ (3﹣t)2﹣ t•2t=﹣ t2+3t。

情况二：如图3，当

由△IQA∽△IPF，得 .即 ，

解得IQ=2(3﹣t)。

∴

= ×(3﹣t)×2(3﹣t)﹣ (3﹣t)2= (3﹣t)2= t2﹣3t+ 。

综上所述： 。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆的切线的判定，相似三角形的性质，平移的性质。

【分析】(1)已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，从而能得到顶点B的坐标。

(2)过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可.BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，从而得证。

(3)在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE= ，sin∠BAE= ，cos∠BAE= 。

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形。

①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合。

由D(﹣1，0)、E(0，3)，得OD=1、OE=3，

即tan∠DEO= =tan∠BAE，

即∠DEO=∠BAE，满足△DEO∽△BAE的条件。

因此 O点是符合条件的P1点，坐标为(0，0)。

②DE为短直角边时，P2在x轴上。

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似∠DEP2=∠AEB=90°sin∠DP2E=sin∠BAE= 。

而DE= ，则DP2=DE÷sin∠DP2E= ÷ =10，OP2=DP2﹣OD=9。

即P2(9，0)。

③DE为长直角边时，点P3在y轴上。

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，

则∠EDP3=∠AEB=90°cos∠DEP3=cos∠BAE= 。

则EP3=DE÷cos∠DEP3= ÷ ，OP3=EP3﹣OE= 。即P3(0，﹣ )。

综上所述，得：P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，﹣ )。

(4)过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个五边形;当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形.按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解。

24. (2012湖南郴州10分)阅读下列材料：我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax+Bx+C=0(A、B、C是常数，且A、B不同时为0).如图1，点P(m，n)到直线l：Ax+By+C=0的距离(d)计算公式是：d= .

例：求点P(1，2)到直线 的距离d时，先将 化为5x-12y-2=0，再由上述距离公式求得d= .

解答下列问题：

如图2，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 上的一点M(3，2).

(1)求点M到直线AB的距离.

(2)抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小?若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值;若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)将 化为4x+3y+12=0，，由上述距离公式得：

d= 。

∴点M到直线AB的距离为6。

(2)存在。

设P(x， )，则点P到直线AB的距离为：

d= 。

由图象，知点P到直线AB的距离最小时x>0， >0，

∴d= 。

∴当 时，d最小，为 。

当 时， ，∴P( ， )。

又在 中，令x=0，则y=-4。∴B(0，-4)。

令y=0，则x=-3。∴A(-3，0)。

∴AB= =5。

∴△PAB面积的最小值为 。

【考点】新定义，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。

【分析】(1)按例求解即可。

(2)用二次函数的最值，求出点P到直线AB的距离最小值，即可求出答案。

25. (2012湖南怀化10分)]如图，抛物线m： 与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为 ,将抛物线m绕点B旋转 ，得到新的抛物线n,它的顶点为D.

(1)求抛物线n的解析式;

(2)设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点(P不与E、D重合)，过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF.如果P点的坐标为 ，△PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值;

(3)设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由.

【答案】解：(1)∵抛物线m的顶点为 ，

∴m的解析式为 = 。∴ 。

∵抛物线n是由抛物线m绕点B旋转 得到，∴D的坐标为 。

∴抛物线n的解析式为： ，即 。

(2)∵点E与点A关于点B中心对称，∴E 。