设直线ED的解析式为 ，则 ，解得 。

∴直线ED的解析式为 。

又点P的坐标为 ，

∴S = = 。

∴当 时，S有最大值。

但 ，∴△PEF的面积S没有最大值 。

(3)直线CM与⊙G相切。理由如下：

∵抛物线m的解析式为 ，令 得 。∴ 。

∵抛物线m的对称轴与 轴的交点为G，∴OC=4，OG=3， 。

∴由勾股定理得CG=5。

又∵AB=10，∴⊙G的半径为5，∴点C在⊙G上。

过M点作y轴的垂线，垂足为N，

则 。

又 ，

∴ 。

∴根据勾股定理逆定理，得∠GCM=900。∴ 。

∴直线CM与⊙G相切。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆的位置关系，勾股定理和逆定理。

【分析】(1)由抛物线m的顶点坐标写出抛物线m的顶点式方程，化为交点式方程即可求出A、B两点的坐标，根据旋转的性质即可求出抛物线n的解析式。

(2)求出直线ED的解析式，由点P在直线ED，可知P ，从而求出△PEF的面积S的函数关系式，由点P在线段ED上得 。从而根据二次函数最值的求法得出结果。

(3)要判断直线CM与⊙G的位置关系首先要判断CG与⊙G半径的关系，由AB=10，得⊙G的半径为5。求出CG，知点C在⊙G上。由勾股定理和逆定理，得出 。从而得出 ，得出直线CM与⊙G相切的结论。

26. (2012湖南娄底10分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N.

(1)求证：△BMD∽△CNE;

(2)当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切?

(3)设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式(要求写出自变量x的取值范围);当x为何值时，y有最大值?并求y的最大值.

【答案】解：(1)证明：∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°。

∵△DEF是等边三角形，∴∠FDE=∠FED=60°。∴∠MDB=∠NEC=120°。

∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°。∴△BMD∽△CNE。

(2)过点M作MH⊥BC，

∵以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，

∴MH=MF。

设BD=x，

∵△DEF是等边三角形，∴∠FDE=60°。

∵∠B=30°，∴∠BMD=∠FDE﹣∠B=60°﹣30°=30°=∠B。∴DM=BD=x。

∴MH=MF=DF﹣MD=4﹣x。

在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°= ，解得：x=16﹣8 。

∴当BD=16﹣8 时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切。

(3)过点M作MH⊥BC于H，过点A作AK⊥BC于K，

∵AB=AC，∴BK= BC= ×8=4

∵∠B=30°，∴AK=BK•tan∠B=4× 。

∴S△ABC= BC•AK= ×8× 。

由(2)得：MD=BD=x

∴MH=MD•sin∠MDH= x，

∴S△BDM= •x• x= x2。

∵△DEF是等边三角形且DE=4，BC=8，∴EC=BC﹣BD﹣DE=8﹣x﹣4=4﹣x。

∵△BMD∽△CNE，∴S△BDM：S△CEN= 。∴S△CEN= (4﹣x)2。

∴y=S△ABC﹣S△CEN﹣S△BDM= ﹣ x2﹣ (4﹣x)2=﹣ x2+2 x+

=﹣ (x﹣2)2+ (0≤x≤4)。

∴当x=2时，y有最大值，最大值为 。

【考点】等腰(边)三角形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】(1)由AB=AC，∠B=30°，根据等边对等角，可求得∠C=∠B=30°，又由△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得∠MDB=∠NEC=120°，∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，即可判定：△BMD∽△CNE。

(2)首先过点M作MH⊥BC，设BD=x，由以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，可得MH=MF=4﹣x，由(1)可得MD=BD，然后在Rt△DMH中，利用正弦函数，即可求得答案。

(3)首先求得△ABC的面积，继而求得△BDM的面积，然后由相似三角形的性质，可求得△BCN的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案。

27. (2012湖南湘潭10分)如图，抛物线 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为(4，0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标;

(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标.

【答案】解：(1)∵B(4，0)在抛物线 的图象上

∴ ，即： 。

∴抛物线的解析式为： 。

(2)由(1)的函数解析式可求得：A(﹣1，0)、C(0，﹣2)。

∴OA=1，OC=2，OB=4。∴ 。

又∵OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB。∴∠OCA=∠OBC。

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°。

∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径。

∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：( ，0)。

(3)已求得：B(4，0)、C(0，﹣2)，可得直线BC的解析式为：y= x﹣2。

设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程： x+b= ，即： x2﹣4x﹣4﹣2b=0，且△=0。

∴16﹣4×(﹣4﹣2b)=0，解得b=4。∴直线l：y= x﹣4。

∵ ，当h最大(即点M到直线BC的距离最远)时，△ABC的面积最大。

∴点M是直线l和抛物线的唯一交点，有：

，解得： 。∴ M(2，﹣3)。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一元二次方程根的判别式，解方程和方程组。

【分析】(1)该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可。

(2)根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标。

(3)△MBC的面积可由 表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M。

28. (2012辽宁沈阳14分)已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(-2，0)，点B坐标为 (0，2 )，点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y= x2+mx+n的图象经过A，C两点.

(1) 求此抛物线的函数表达式;

(2) 求证：∠BEF=∠AOE;

(3) 当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标;

(4) 在(3)的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为(1) 中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的( ) 倍.若存在，请直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.

【答案】解：(1)∵A (-2， 0)， B (0， 2)，∴OA=OB=2 。

∴AB2=OA2+OB2=22+22=8。∴AB=2 。

∵OC=AB，∴OC=2 ， 即C (0， 2 )。

∵抛物线y=- x2+mx+n的图象经过A、C两点，得

，解得： 。

∴抛物线的表达式为y=- x2- x+2 。

(2)证明：∵OA=OB，∠AOB=90° ，∴∠BAO=∠ABO=45°。

又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ，∴∠BEF=∠AOE。

(3)当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论

①当OE=OF时， ∠OFE=∠OEF=45°，

在△EOF中， ∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°。

又∵∠AOB=90°，则此时点E与点A重合， 不符合题意， 此种情况不成立。

②如图①， 当FE=FO时，∠EOF=∠OEF=45°。

在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°，

∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°。∴EF∥AO。

∴ ∠BEF=∠BAO=45° 。

又∵ 由 (2) 可知 ，∠ABO=45°，∴∠BEF=∠ABO。

∴BF=EF。∴EF=BF=OF= OB= ×2=1 。∴ E(-1， 1)。

③如图②， 当EO=EF时， 过点E作EH⊥y轴于点H ，

在△AOE和△BEF中，

∵∠EAO=∠FBE， EO=EF， ∠AOE=∠BEF，

∴△AOE≌△BEF(AAS)。∴BE=AO=2。

∵EH⊥OB ，∴∠EHB=90°。∴∠AOB=∠EHB。

∴EH∥AO。 ∴∠BEH=∠BAO=45°。

在Rt△BEH中， ∵∠BEH=∠ABO=45° ，∴EH=BH=BEcos45°=2× = 。

∴OH=OB-BH=2-2 。∴ E(- ， 2- )。

综上所述， 当△EOF为等腰三角形时，点E坐标为E(-1， 1)或E(- ， 2- )。

(4) P(0， 2 )或P (-1， 2 )。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】(1)应用勾股定理求出点C的坐标，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法求出抛物线的函数表达式。

(2)应用等腰直角三角形等边对等角的性质可证。

(3)分OE=OF，FE=FO，EO=EF三种情况讨论即可。

(4)假设存在这样的点P。当直线EF与x轴有交点时，由(3)知，此时E(- ， 2- )。

如图④所示，过点E作EH⊥y轴于点H，则OH=FH=2- 。

由OE=EF，易知点E为Rt△DOF斜边上的中点，即DE=EF。

过点F作FN∥x轴，交PG于点N。

易证△EDG≌△EFN，因此S△EFN=S△EDG。

依题意，可得S△EPF=( )S△EDG=( )S△EFN，

∴PE：NE= 。

过点P作PM⊥x轴于点M，分别交FN、EH于点S、T，则ST=TM=2- 。

∵FN∥EH，∴PT：ST=PE：NE= 。

∴PT=( )ST=( )(2- )=3 -2。

∴PM=PT+TM=2 ，即点P的纵坐标为2 。

∴2 =- x2- x+2 ，解得x1=0，x2=-1。

∴P点坐标为(0， 2 )或(-1， 2 )。

综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的( )倍，点P的坐标为(0， 2 )或(-1， 2 )。

29. (2012广东河源9分)如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，23)、D(0，33)，射线l过点D且

与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO=60º.

(1)点B的坐标是 ，∠CAO= º，当点Q与点A重合时，点P的坐标

为 ;

(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应

的自变量x的取值范围.

【答案】解：(1)(6，2 )。 30。(3，3 )。

(2)当0≤x≤3时，

如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x;

由题意可知直线l∥BC∥OA，

可得 ，∴EF= (3+x)，

此时重叠部分是梯形，其面积为：

当3

当5

当x>9时，如图4，

。

综上所述，S与x的函数关系式为：

。

【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。

【分析】(1)①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：

∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，

∵A(6，0)、C(0，2 )，∴点B的坐标为：(6，2 )。

②由正切函数，即可求得∠CAO的度数：

∵ ，∴∠CAO=30°。

③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标;如图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，

∵∠PQO=60°，D(0，3 )，∴PE=3 。

∴ 。

∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为(3，3 )。

(2)分别从当0≤x≤3时，当39时去分析求解即可求得答案。

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