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几何综合问题2012年中考压轴题(有答案)

2012年全国中考数学(续61套)压轴题分类解析汇编

专题9：几何综合问题

24. (2012湖北恩施12分)如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB.

(1)求证：BC是⊙O的切线;

(2)连接AF，BF，求∠ABF的度数;

(3)如果CD=15，BE=10，sinA= ，求⊙O的半径.

【答案】解：(1)证明：连接OB，

∵OB=OA，CE=CB，

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC。

又∵CD⊥OA，

∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。

∴∠OBA+∠ABC=90°。∴OB⊥BC。

∴BC是⊙O的切线。

(2)连接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴△OAF是等边三角形。

∴∠AOF=60°。

∴∠ABF= ∠AOF=30°。

(3)过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，

∴EG= BE=5。

易证Rt△ADE∽Rt△CGE，

∴sin∠ECG=sin∠A= ，

∴ 。

∴ 。

又∵CD=15，CE=13，∴DE=2，

由Rt△ADE∽Rt△CGE得 ，即 ，解得 。

∴⊙O的半径为2AD= 。

【考点】等腰(边)三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。

【分析】(1)连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线。

(2)连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。

(3)过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG= BE=5，由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，从而求出⊙O的半径。

25. (2012黑龙江哈尔滨10分)已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN.

(1)如图l，求证：PC=AN;

(2) 如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长.

【答案】解：(1)证明：∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM=ANM=90°。

∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，∴∠PAQ=∠AMN。

∵PQ⊥AB MN⊥AC，∴∠PQA=∠ANM=90°。∴AQ=MN。∴△AQP≌△MNA(ASA)。

∴AN=PQ，AM=AP。∴∠AMB=∠APM。

∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠PBC。

∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ=PC(角平分线的性质)。∴PC=AN。

(2)∵NP=2 PC=3，∴由(1)知PC=AN=3。∴AP=NC=5，AC=8。

∴AM=AP=5。∴ 。

∵∠PAQ=∠AMN，∠ACB=∠ANM=90°，∴∠ABC=∠MAN。

∴ 。

∵ ，∴BC=6。

∵NE∥KC，∴∠PEN=∠PKC。

又∵∠ENP=∠KCP，∴△PNE∽△PCK。∴ 。

∵CK：CF=2：3，设CK=2k，则CF=3k。

∴ ， 。

过N作NT∥EF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形。

∴NE=TF= ，∴CT=CF-TF=3k- 。

∵EF⊥PM，∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。

∴∠BPC=∠BFH。

∵EF∥NT，∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。

∴ 。

∴ ， 。

∴CT= 。∴ 。∴CK=2× =3，BK=BC-CK=3。

∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC。

∴ 。∴tan∠BDK=1。

过K作KG⊥BD于G。

∵tan∠BDK=1，tan∠ABC= ，∴设GK=4n，则BG=3n，GD=4n。

∴BK=5n=3，∴n= 。∴BD=4n+3n=7n= 。

∵ ，AQ=4，∴BQ=AB-AQ=6。

∴DQ=BQ-BD=6- 。

【考点】相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形。

【分析】(1)确定一对全等三角形△AQP≌△MNA，得到AN=PQ;然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ;从而得到PC=AN。

(2)由已知条件，求出线段KC的长度，从而确定△PKC是等腰直角三角形;然后在△BDK中，解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。

26. (2012湖北十堰10分)如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E.

(1)求证：BD是⊙O的切线;

(2)若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形;

(3)作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G(如图2)，求 的值.

【答案】解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°。∴∠ABC+∠BAC=90°。

又∵∠CBD=∠BAC，∴∠ABC+∠CBD=90°。∴∠ABD=90°。∴OB⊥BD。

∴BD为⊙O的切线。

(2)证明：如图，连接CE、OC，BE，

∵OE=ED，∠OBD=90°，∴BE=OE=ED。

∴△OBE为等边三角形。∴∠BOE=60°。

又∵OD∥AC，∴∠OAC=60°。

又∵OA=OC，∴AC=OA=OE。∴AC∥OE且AC=OE。

∴四边形OACE是平行四边形。

而OA=OE，∴四边形OACE是菱形。

(3)∵CF⊥AB，∴∠AFC=∠OBD=90°。

又∵OD∥AC，∴∠CAF=∠DOB。∴Rt△AFC∽Rt△OBD。

∴ ，即 。

又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD。

∴ ，即 。

∴ 。

【考点】圆的综合题，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，则∠ABC+∠BAC=90°，

而∠CBD=∠BA，得到∠ABC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切

线。

(2)连接CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，则△OBE为等边三角形，于是∠BOE=60°，又因为AC∥OD，则∠OAC=60°，AC=OA=OE，即有AC∥OE且AC=OE，可得到四边形OACE是平行四边形，加上OA=OE，即可得到四边形OACE是菱形。

(3)由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°，而OD∥AC，则∠CAF=∠DOB，根据相似三角形的

判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD，则有 ，即 ，再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD，则 ，即 ，然后求FG与FC的比即可。

27. (2012江苏镇江11分)等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点(与B、C不重合)，连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N(如图1)。

(1)求证：AM=AN;

(2)设BP=x。

①若，BM= ，求x的值;

②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值;

③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H(如图2)，当x取何值时，∠BAD=150?并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。

【答案】解：(1)证明：∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形，

∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=600，∠ADM=∠APN=600。∴∠DAM=∠PAN。

∴△ADM≌△APN(ASA)，∴AM=AN。

(2)①易证△BPM∽△CAP，∴ ，

∵BN= ，AC=2，CP=2-x，∴ ，即 。

解得x= 或x= 。

②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。

∵△ADM≌△APN，∴ 。

∴ 。

如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则点T是AP的中点。

在Rt△BPS中，∵∠P=600，BP=x，

∴PS=BPsin600= x，BS=BPcos600= x。

∵AB=2，∴AS=AB-BC=2- x。

∴ 。

∴ 。

∴ 。

∴当x=1时，S的最小值为 。

③连接PG，设DE交AP于点O。

若∠BAD=150，

∵∠DAP =600，∴∠PAG =450。

∵△APD和△APE都是等边三角形，

∴AD=DP=AP=PE=EA。

∴四边形ADPE是菱形。

∴DO垂直平分AP。

∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =450。

∴∠PGA =900。

设BG=t，

在Rt△BPG中，∠B=600，∴BP=2t，PG= 。∴AG=PG= 。

∴ ，解得t= -1。∴BP=2t=2 -2。

∴当BP=2 -2时，∠BAD=150。

猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。

∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=300。

∵∠BAD=150，∴易得∠AGO=450，∠HAO=150，∠EAH=450。

设AO=a，则AD=AE=2 a，OD= a。∴DG=DO-GO=( -1)a。

又∵∠BAD=150，∠BAC=600，∠ADO=300，∴∠DHA=∠DAH=750。

∵DH=AD=2a，

∴GH=DH-DG=2a-( -1)a=(3- )a，

HE=2DO-DH=2 a-2a=2( -1)a。

∵ ，

，

∴ 。

∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。

【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。

【分析】(1)由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。

(2)①由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。

②应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得 ，

用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。

③由∠BAD=150得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。

求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。

28. (2012福建三明14分)在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上(不含点B)，∠BPE= ∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G.

(1) 当点P与点C重合时(如图①).求证：△BOG≌△POE;(4分)

(2)通过观察、测量、猜想： = ▲ ，并结合图②证明你的猜想;(5分)

(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图③)，若∠ACB=α，

求 的值.(用含α的式子表示)(5分)

【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，

∴OB=OP ， ∠BOC=∠BOG=90°。

∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO。

∴∠GBO=∠EPO 。∴△BOG≌△POE(AAS)。

(2) 。证明如下：

如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=900， ∠BPN=∠OCB。

∵∠OBC=∠OCB =450， ∴ ∠NBP=∠NPB。

∴NB=NP。

∵∠MBN=900—∠BMN， ∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE。

∴△BMN≌△PEN(ASA)。∴BM=PE。

∵∠BPE= ∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF。

∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900。

又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF(ASA)。∴BF=MF ，即BF= BM。

∴BF= PE， 即 。

(3)如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900。

由(2)同理可得BF= BM， ∠MBN=∠EPN。

∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN∽△PEN。

∴ 。

在Rt△BNP中， ， ∴ ，即 。

∴ 。

【考点】几何综合题，正方形和菱形的性质，平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。

【分析】(1)由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE。

(2)过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明△BMN≌△PEN得到BM=PE，通过ASA证明△BPF≌△MPF得到BF=MF，即可得出 的结论。

(3)过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，同(2)证得BF= BM， ∠MBN=∠EPN，从而可证得△BMN∽△PEN，由 和Rt△BNP中 即可求得 。

29. (2012辽宁沈阳12分)已知，如图①，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点(点A，B不与点O重合)，且AB= ，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°.

(1)求AP的长;

(2)求证：点P在∠MON的平分线上;

(3) 如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.

①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值;

②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围.

【答案】解： (1) 过点P作PQ⊥AB于点Q ∵PA=PB，∠APB=120° ，AB=4 ，

∴AQ= AB= ×4 =2 ，∠APQ= ∠APB= ×120°=60°。

在Rt△APQ中， sin∠APQ=

∴AP= =4。

(2)证明：过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T，

∴∠OSP=∠OTP=90°。

在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，

∴∠APB=∠SPT=120°。 ∴∠APS=∠BPT。

又∵∠ASP=∠BTP=90°， AP=BP，∴△APS≌△BPT(AAS)。 ∴PS=PT。

∴点P在∠MON的平分线上。

(3) ①8+4 ②4+4

【考点】等腰三角形的，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，多边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，点在角平分线上的判定，三角形中位线定理

【分析】(1)过点P作PQ⊥AB于点Q.根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知AQ=BQ= AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度。

(2)作辅助线PS、PT(过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T)构建全等三角形△APS≌△BPT;然后根据全等三角形的性质推知PS=OT;最后由角平分线的性质推知点P在∠MON的平分线上。

(3)利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB。

①当AB⊥OP时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度;

②当AB⊥OP时，OP取最大值，即四边形CDEF的周长取最大值;当点A或B与点O重合时，四边形CDEF的周长取最小值，据此写出t的取值范围。

30. (2012辽宁大连12分)如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A.

(1)∠BEF=_____(用含α的代数式表示);

(2)当AB=AD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想;

(3)当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE>AB，AB=mDE，AD=nDE”，其他条件不变(如图2)，求 的值(用含m、n的代数式表示)。

【答案】解：(1)180°-2α。

(2)EB=EF。证明如下：

连接BD交EF于点O，连接BF。

∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α，

∠ADC=180°-∠C=180°-α。

∵AB=AD，∴∠ADB= (180°-∠A)=α。

∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=180°-2α。

由(1)得：∠BEF=180°-2α=∠BDC。

又∵∠EOB=∠DOF，∴△EOB∽△DOF。∴ ，即 。

∵∠EOD=∠BOF，∴△EOD∽△BOF。∴∠EFB=∠EDO=α。

∴∠EBF=180°-∠BEF-∠EFB=α=∠EFB。∴EB=EF。

(3) 延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，

则∠G=∠AEG= 。

∵AD∥BC，

∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC。

∴∠EDF=∠G。

∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠GBC。

∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，即∠EBG=∠FED。

∴△DEF∽△GBE。∴ 。

∵AB=mDE，AD=nDE，∴AG=AE=(n+1)DE。

∴BG=AG-AB=(n+1)DE-mDE=(n+1-m)DE。

∴ 。

【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。

【分析】(1)由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，根据平行线的性质，易求得∠A的度数，又由∠BEF=∠A，即可求得∠BEF的度数：

∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°。∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α。

又∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠A=180°-2α。

(2)连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得△EOB∽△DOF，根据相似三角形的对应边成比例，可得 ，从而可证得△EOD∽△BOF，又由相似三角形的对应角相等，易得∠EBF=∠EFB=α，即可得EB=EF。

(3)延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得△DEF∽△GBE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得 的值。

31. (2012辽宁鞍山12分)如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标(3，3)，将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α(0°<α<90°)，得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的

延长线交线段BC于点P，连AP、AG.

(1)求证：△AOG≌△ADG;

(2)求∠PAG的度数;并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由;

(3)当∠1=∠2时，求直线PE的解析式.

【答案】解：(1)证明：∵∠AOG=∠ADG=90°，

∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，AO=AD，AG=AG，

∴△AOG≌△ADG(HL)。

(2)∠PAG =45°,PG=OG+BP。理由如下：

由(1)同理可证△ADP≌△ABP，则∠DAP=∠BAP。

∵由(1)△AOG≌△ADG，∴∠1=∠DAG。

又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，

∴2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°。∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°。

∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，∴DG=OG，DP=BP。

∴PG=DG+DP=OG+BP。

(3)∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD。

又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC。

又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°。∴∠1=∠2=30°。

在Rt△AOG中，AO=3，OG=AOtan30°= ，

∴G点坐标为：( ，0)，CG=3﹣ 。

在Rt△PCG中，PC= ，∴P点坐标为：(3， )。

设直线PE的解析式为y=kx+b，

则 ，解得 。

∴直线PE的解析式为y= x﹣1。

【考点】一次函数综合题，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。

【分析】(1)由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可证△AOG≌△ADG。

(2)利用(1)的方法，同理可证△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG的度数;根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系。

(3)由△AOG≌△ADG可知，∠AGO=∠AGD，而∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，当∠1=∠2时，可证∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，即∠1=∠2=30°，解直角三角形求OG，PC，确定P、G两点坐标，得出直线PE的解析式。

32. (2012山东威海11分)

探索发现：已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N。

(1)如图①，如果AD=BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线;

(2)如图②，如果AD≠BC，那么线段AM与BM是否相等?请说明理由。

学以致用：仅用直尺(没有刻度)，试作出图③中的矩形ABCD的一条对称轴。(写出作图步骤，保留作图痕迹)

【答案】解：(1)证明：∵AD=BC，CD∥AB，∴AC=BD，∠DAB=∠CBA。∴AE=BE。

∴点E在线段AB的垂直平分线上。

在△ABD和△BAC中，∵AB=BA，AD=BC，AC=BD，

∴△ABD≌△BAC(SSS)。∴∠DBA=∠CAB。∴OA=OB。

∴点O在线段AB的垂直平分线上。

∴直线EM是线段AB的垂直平分线。

(2)相等。理由如下：

∵CD∥AB，∴△EDN∽△EAM，△ENC∽△EMB，△EDC∽△EAB。

∴ 。∴ 。∴ 。

∵CD∥AB，∴△OND∽△OMB，△ONC∽△OMA，△OCD∽△OAB。

∴ 。∴ 。∴ 。

∴ 。∴AM2=BM2。∴AM=BM。

(3)作图如下：

作法：① 连接AC，BD，两线相交于点O1;

② 在梯形ABCD外DC上方任取一点E，连接EA，EB，分别交DC于点G，H;

③ 连接BG，AH，两线相交于点O2;

④ 作直线EO2，交AB于点M;

⑤ 作直线MO1。

则直线MO1。就是矩形ABCD的一条对称轴。

【考点】平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定，复杂作图。

【分析】(1)一方面由已知可得点E在线段AB的垂直平分线上;另一方面可由SSS证明△ABD≌△BAC，从而得∠DBA=∠CAB，因此OA=OB，得出点O在线段AB的垂直平分线上。从而直线EM是线段AB的垂直平分线。

(2)一方面由CD∥AB，得△EDN∽△EAM，△ENC∽△EMB，△EDC∽△EAB，利用对应边成比例可得 ;另一方面由CD∥AB，得△OND∽△OMB，△ONC∽△OMA，△OCD∽△OAB，利用对应边成比例可得 。从而得到 ，即可得到AM=BM的结论。

(3)按(2)的结论作图即可。

33. (2012四川泸州9分)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的弧AD中点，弦CE⊥AB

于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。

(1)求证：P是线段AQ的中点;

(2)若⊙O的半径为5，AQ= ，求弦CE的长。

【答案】解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，∴ 。

又∵C是弧 的中点，∴ 。∴ 。∴∠ACP=∠CAP。∴PA=PC。

∵AB是直径.∴∠ACB=90°。

∴∠PCQ=90°-∠ACP，∠CQP=90°-∠CAP。∴∠PCQ=∠CQP。∴PC=PQ。

∴PA=PQ，即P是AQ的中点。

(2)∵ ，∴∠CAQ=∠ABC。

又∵∠ACQ=∠BCQ，∴△CAQ∽△CBA。∴ 。

又∵AQ= ，BA=10，∴ 。

设AC=3k， BC=4k，则由勾股定理得， ，解得k=2。

∴AC=6，BC=8。

根据直角三角形的面积公式，得：AC•BC=AB•CH，∴6×8=10CH。∴CH= 。

又∵CH=HE，∴CE=2CH= 。

【考点】圆的综合题，圆周角定理。垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】(1)首先利用等角对等边证明：∠ACP=∠CAP得到：PA=PC，然再证明PC=PQ，即可得到P是AQ的中点。

(2)首先证明：△CAQ∽△CBA，依据相似三角形的对应边的比相等求得AC、BC的长度，然后根据直角三角形的面积公式即可求得CH的长，则可以求得CE的长。

34. (2012四川成都10分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F.切点为G，连接AG交CD于K.

(1)求证：KE=GE;

(2)若 =KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由;

(3) 在(2)的条件下，若sinE= ，AK= ，求FG的长.

【答案】解：(1)证明：如答图1，连接OG。

∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°。

∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°。

又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG。

∴∠KGE=∠AKH=∠GKE。∴KE=GE。

(2)AC∥EF，理由如下：

连接GD，如答图2所示。

∵KG2=KD•GE，∴ 。

又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK。

∴∠E=∠AGD。

又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠C。∴AC∥EF。

(3)连接OG，OC，如答图3所示。

由(2)∠E=∠ACH，∴sinE=sin∠ACH= 。

∴可设AH=3t，则AC=5t，CH=4t。

∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t。∴HK=CK﹣CH=t。

在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即(3t)2+t2=( )2，解得t= 。

设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，

由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即(r﹣3t)2+(4t)2=r2，解得r= t= 。

∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形。

在Rt△OGF中，OG=r= ，tan∠OFG=tan∠CAH= ，

∴FG= 。

【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，锐角三角函数定义。

【分析】(1)如答图1，连接OG.根据切线性质及CD⊥AB，可以推出连接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE。

(2)AC与EF平行，理由为：如答图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF。

(3)如答图3所示，连接OG，OC.首先求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解;然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度。

35. (2012广西钦州10分)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC.

(1)求证：EF是⊙O的切线;

(2)求证：AC2=AD•AB;

(3)若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积.

【答案】解：(1)证明：连接OC，

∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA。

∵∠DAC=∠BAC，∴∠OCA=∠DAC。∴OC∥AD。

∵AD⊥EF，∴OC⊥EF。

∵OC为半径，∴EF是⊙O的切线。

(2)证明：∵AB为⊙O直径，AD⊥EF，

∴∠BCA=∠ADC=90°。

∵∠DAC=∠BAC，∴△ACB∽△ADC。

∴ 。∴AC2=AD•AB。

(3)∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，∴∠OCA=60°.

∵OC=OA，∴△OAC是等边三角形。∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°。

∵在Rt△ACD中，AD= AC=1。

由勾股定理得：DC= ，

∴阴影部分的面积是S=S梯形OCDA﹣S扇形OCA= ×(2+1)× ﹣ 。

【考点】圆的综合题，等腰(边)三角形的判定和性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积。

【分析】(1)连接OC，根据OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根据切线的判定推出即可。

(2)证△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案。

(3)求出等边三角形OAC，求出AC、∠AOC，在Rt△ACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面积，相减即可得出答案。

36. (2012广西贵港11分)如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且

∠ACB=90°，AB=5，BC=3。点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H。

(1)直接写出线段AC、AD以及⊙O半径的长;

(2)设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式;

(3)当PH与⊙O相切时，求相应的y值。

【答案】解：(1)AC=4;AD=3，⊙O半径的长为1。

(2)在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，则BC=3。

∵∠C=90°，PH⊥AB，∴∠C=∠PHA=90°。

∵∠A=∠A， ∴△AHP∽△ACB。∴ ，即 。

∴ ，即y与x的函数关系式是 。

(3)如图，P′H′与⊙O相切于点M，连接OD，OE，OF，OM。

∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，

∴四边形OMH′D是正方形。∴MH′=OM=1。

∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，

∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE。

∴四边形CEOF是正方形，CF=OF=1。

∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y。

又由(2)知， ，∴ ，解得 。

【考点】圆的综合题，圆的切线性质，勾股定理，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)连接AO、DO，EO，FO，设⊙O的半径为r，

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC= ，

∴⊙O的半径r= (AC+BC-AB)= (4+3-5)=1。

∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，

∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE。∴四边形CEOF是正方形。∴CF=OF=1。

又∵AD、AF是⊙O的切线，∴AF=AD。∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3，即AD=3。

(2)通过相似三角形△AHP∽△ACB的对应边成比例知， ，将“PH=x，PC=y”代入求出即可求得y关于x的函数关系式。

(3)根据圆的切线定理证得四边形OMH′D、四边形CFOE为正方形;然后利用正方形的性质、圆的切线定理推知P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y;最后将其代入(2)中的函数关系式即可求得y值。

37. (2012贵州安顺12分)如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°.

(1)求∠B的大小;

(2)已知AD=6，求圆心O到BD的距离.

【答案】解：(1)∵∠APD=∠C+∠CAB，∠CAB=40°，∠APD=65°，

∴∠C=65°﹣40°=25°。

∴∠B=∠C=25°。

(2)过点O作OE⊥BD于E，则DE=BE，

又∵AO=BO，∴OE= AD= ×6=3。

∴圆心O到BD的距离为3。

【考点】圆周角定理，三角形外角性质，垂径定理，三角形中位线定理。

【分析】(1)根据圆周定理以及三角形外角求出即可。

(2)利用三角形中位线定理得出OE= AD，即可得出答案。

38. 2012云南省7分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN.

(1)求证：四边形BMDN是菱形;

(2)若AB=4，AD=8，求MD的长.

【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC。∴∠BNO=∠DMO，∠NBO=∠MDO。

∵MN是BD的中垂线，∴OB=OD，BD⊥MN。

∴△BNO≌△DMO(AAS)。∴ON=OM。

∴四边形BMDN的对角线互相平分。∴四边形BMDN是平行四边形。

∵BD⊥MN，∴平行四边形BMDN是菱形。

(2)∵四边形BMDN是菱形，∴MB=MD。

设MD长为x，则MB=DM=x，AM=8-x。

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=900。

在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2，即x2=(8-x)2+42，解得：x=5。

答：MD长为5。

【考点】矩形的性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】(1)根据矩形性质求出AD∥BC，根据OB=OD和AD∥BC推出△BNO≌△DMO ，OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN。

(2)根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出

x2=x2-16x+64+16，求出即可。

39. (2012山东淄博9分)在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x.

(1)当点G与点D重合时，求x的值;

(2)当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值.

【答案】解：(1)当点G与点D重合时，点F也与点D重合。

∵矩形ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形。

∵BC=4，∴x= AB= BC=4。

(2)∵点F为AD中点，BC=4，∴AF=2。

∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴△AEF∽△BEB。∴ 。

∴ 。∴ 。

∵矩形ABCD中，∠ABC=∠BAF=900，

∴在Rt△ABC和Rt△BAF中由勾股定理得 ，

即 。

两式相加，得 。

又∵AC⊥BG，∴在Rt△ABE中， 。

∴ ，解得 (已舍去负值)。

∴ 。

∴在Rt△CEF中由勾股定理得 。

∴ 。∴ 。

【考点】矩形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义。

【分析】(1)由点G与点D重合得出四边形ABCD是正方形即可求得x的值。

(2)由点F为AD中点和矩形的性质，得△AEF∽△BEB，从而得 。在Rt△ABC、 Rt△BAF和Rt△ABE应用勾股定理即可求得x的值。在Rt△CEF中应用勾股定理求得CF，根据锐角三角函数定义即可求得∠ECF的正弦值。

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