【分析】∵H为A1B1的中点，F为C1D1的中点，∴A1H=B1H，C1F=D1F。

又A1B1C1D1为菱形，∴A1B1=C1D1。∴A1H=C1F。

又A1H∥C1F，∴四边形A1HC1F为平行四边形。∴ 。

又 ，∴ 。

又GD1=B1E，GD1∥B1E，∴GB1ED1为平行四边形。∴GB1∥ED1。

又G为A1D1的中点，∴A2为A1D2的中点。

同理C2为C1B2的中点，B2为B1A2的中点，D2为D1C2的中点。

∴HB2= A1A2，D2F= C1C2。

又∵A1A2B2H和C1C2D2F都为梯形，且高与平行四边形A2B2C2D2的高h相等(设高为h)，下底与平行四边形A2B2C2D2的边A2D2与x相等(设A2D2=x)，

∴ 。

∴ 。

又∵ ，

∴ 。

同理 。

以此类推得四边形AnBnCnDn的面积为 。

7. (2012辽宁营口3分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过点D作DF⊥BC于F.若AD=2，

BC=4，DF=2，则DC的长为 ▲ .

【答案】 。

【考点】等腰梯形的性质，勾股定理。

【分析】由在等腰梯形ABCD中，AD∥BC， DF⊥BC， AD=2，BC=4可得FC=(4-2)÷2=1.

在Rt△CDF中，DF=2，FC=1，根据勾股定理,得DC= 。

三、解答题

1. (2012辽宁鞍山8分)如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG=DC，CE=CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.

求证：FP=EP.

【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。∴∠DGC=∠GCB，

∵DG=DC，∴∠DGC=∠DCG。∴∠DCG=∠GCB。

∵∠DCG+∠DCP=180°，∠GCB+∠FCP=180°，∴∠DCP=∠FCP。

∵在△PCF和△PCE中，CE=CF，∠FCP=∠ECP，CP=CP，

∴△PCF≌△PCE(SAS)。∴PF=PE。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据平行四边形的性质推出∠DGC=∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC=∠DCG，推出∠DCG=∠GCB，根据等角的补角相等求出∠DCP=∠FCP，根据SAS证出△PCF≌△PCE即可。

2. (2012辽宁朝阳8分)如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F点，AB=BF，请你添加一个条件(不需再添加任何线段或字母)，使之能推出四边形ABCD为平行四边形，请证明。你添加的条件是 ▲ 。

【答案】解：添加的条件是：∠F=∠CDE(答案不唯一)。理由如下：

∵∠F=∠CDE，∴CD∥AF。

在△DEC与△FEB中，∵∠DCE=∠EBF，CE=BE，∠CED=∠BEF，

∴△DEC≌△FEB(AAS)。∴DC=BF。

∵AB=BF，∴DC=AB，∴四边形ABCD为平行四边形。

【考点】开放题型，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定。

【分析】由题目的已知条件可知添加∠F=∠CDE，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC=BF=AB，且DC∥AB，从而证明四边形ABCD为平行四边形。

答案不唯一，还可添加∠C=∠CBF或添加DC∥AB。

3. (2012辽宁大连9分)如图，□ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O.求证：OA=OC.

【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC。

∵ED=BF，∴AE=CF。

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC。

在△AOE 和△COF中，∵∠OAE=∠OCF，AE=CF，∠OEA=∠OFC，

∴△AOE ≌△COF(ASA)。∴OA=OC。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据平行四边形的性质可得AD BC。由等量减等量差相等得AE=CF;由两直线平行内错角相等得∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC。由ASA证得△AOE ≌△COF，从而根据全等三角形对应边相等的性质得OA=OC。

4. (2012辽宁大连12分)如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A.

(1)∠BEF=_____(用含α的代数式表示);

(2)当AB=AD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想;

(3)当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE>AB，AB=mDE，AD=nDE”，其他条件不变(如图2)，求 的值(用含m、n的代数式表示)。

【答案】解：(1)180°-2α。

(2)EB=EF。证明如下：

连接BD交EF于点O，连接BF。

∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α，

∠ADC=180°-∠C=180°-α。

∵AB=AD，∴∠ADB= (180°-∠A)=α。

∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=180°-2α。

由(1)得：∠BEF=180°-2α=∠BDC。

又∵∠EOB=∠DOF，∴△EOB∽△DOF。∴ ，即 。

∵∠EOD=∠BOF，∴△EOD∽△BOF。∴∠EFB=∠EDO=α。

∴∠EBF=180°-∠BEF-∠EFB=α=∠EFB。∴EB=EF。

(3) 延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，

则∠G=∠AEG= 。

∵AD∥BC，

∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC。

∴∠EDF=∠G。

∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠GBC。

∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，即∠EBG=∠FED。

∴△DEF∽△GBE。∴ 。

∵AB=mDE，AD=nDE，∴AG=AE=(n+1)DE。

∴BG=AG-AB=(n+1)DE-mDE=(n+1-m)DE。

∴ 。

【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。

【分析】(1)由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，根据平行线的性质，易求得∠A的度数，又由∠BEF=∠A，即可求得∠BEF的度数：

∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°。∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α。

又∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠A=180°-2α。

(2)连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得△EOB∽△DOF，根据相似三角形的对应边成比例，可得 ，从而可证得△EOD∽△BOF，又由相似三角形的对应角相等，易得∠EBF=∠EFB=α，即可得EB=EF。

(3)延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得△DEF∽△GBE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得 的值。

5. (2012辽宁沈阳10分)已知，如图，在荀ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.

(1)求证：△AEM≌△CFN;

(2)求证：四边形BMDN是平行四边形.

【答案】证明：(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC ，AD∥BC。

∴∠E=∠F，∠DAB=∠BCD。 ∴∠EAM=∠FCN。

又∵AE=CF ∴△AEM≌△CFN(ASA)。

(2) ∵由(1)△AEM≌△CFN， ∴AM=CN。

又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB CD 。∴BM DN。

∴四边形BMDN是平行四边形。

【考点】平行四边形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】(1)根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB=∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F，∠EAM=∠FCN，从而利用ASA可作出证明。

(2)根据平行四边形的性质及(1)的结论可得BM DN，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明。

6. (2012辽宁铁岭12分)已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°,AB=AD=25，BC=32.连接BD，

AE⊥BD，垂足为E.

(1) 求证：△ABE∽△DBC;

(2) 求线段AE的长.

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